Anneau noethérien

1 Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et

réceptions en pieds de SAE ». 1.2.2 Autres pratique de l’escalade en centre de vacances et centre de loisirs sans hébergement. - Arrêté du 20/06/2003 (annexe VII) – précise les conditions d’encadrement, organisation et 1.3 Définitions Anneau de descente : C’est un anneau métallique, maillon rapide, ou un système à verrouillage prévu à cet effet dans lequel coulisse la corde lors d’une descente (moulinette, rappel). Connecteurs : Mécanismes ouvrables permettant aux grimpeurs de se relier directement

un ensemble non vide, alors une suite d’éléments de X est une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans X. On note usuellement u = (un )n∈N ou u = (un )n≥n0 une telle suite. L’ensemble QN des suites de nombres rationnels est un anneau commutatif unitaire pour les opérations classiques d’addition et de multiplication. Définition 1.1 On dit qu’une suite (rn )n∈N de nombres rationnels est convergente s’il existe un nombre rationnel r tel que : ∀ε ∈ Q+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |rn −

Licence 1 : ECO-GESTION Ann´e Universitaire 2011/2012 e MATHEMATIQUES OPTIONNELLES : Alg`bre lin´aire 1 e e PARTIEL 2 - JANVIER 2012 Sections 1 et 2 Dur´e : 2 heures e Documents, portables, calculatrices . . . sont interdits. Aucun brouillon ne sera corrig´. e Toutes les r´ponses devront ˆtre justifi´es et r´dig´es avec soin. e e e e e Le barˆme est donn´ ` titre indicatif, il reste susceptible d’ˆtre modifi´. e e a e e Question de cours (8 points) 1. Soit E un espace vectoriel et e1 ,

s'annule en et appartient donc a A ce qui est contraire a l'hypothese. Remarque P0 est au moins de degre 2 car sinon appartiendrait a K . (c) L'application P 2 K X ] 7?! P ( ) 2 K ] est un morphisme d'algebres donc K ] est en particulier un anneau, sous-anneau de l'anneau integre L. Soit a 2 K ] un element non nul. Il existe P 2 K X ]nA tel que a = P ( ). P s'ecrit P0Q + R ou Q et R sont dans K X ] et deg(R) < deg(P0 ). Il existe donc un polyn^me, R, de degre strictement inferieur a deg(P0 ) tel o

conditions suivantes sont équivalantes: 1) V = W1 ⊕ W2 ⊕…⊕ Wr 2) Tout v ∈ V s'écrit de manière unique v = w1 + w2 + … + wr, où w1 ∈ W1, w2 ∈ W2, wr ∈ WR Soit K un corps. Une K – algèbre A est un ensemble A muni de deux structures: 1) (A, +, ⋅) est un anneau 2) A est un K – espace vectoriel pour la même addition et pour une loi externe K x A ---- > A (λ,a) ---- > λa De plus, on exige que les multiplications internes et externes satisfassent: λ(a ⋅ b) = (λa) ⋅ b = a ⋅ (λb) ∀ λ ∈ K et ∀ a, b ∈ A Exemple:

La justice est un concept que l’on peut définir de plusieurs façons. Dès les premiers débats philosophiques, la conception de justice est étudiée et discutée. Différents points de vue en ressortiront. Dans l’extrait Anneau de Gygès situé dans La République de Platon, Glaucon annonce et défend ce sujet. La conception de la justice selon Glaucon est-elle adéquate? Aujourd’hui, cette question reste pertinente. Tout d’abord, on vit dans un monde ou les gens sont fondamentalement injustes, et dès qu’ils

Devoir Libre n◦ 2 PSI MATHEMATIQUES (` rendre le 16 septembre 2011) a Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C) et u un endomorphisme de E. On d´signe par keru le noyau de u et Imu l’image de u. e Pour tout entier k strictement positif, uk d´signe l’endomorphisme u ◦ u ◦ u · · · ◦ u (k e fois) et u0 d´signe l’application identique de E. e PREMIERE PARTIE ADans cette partie, E d´signe un espace vectoriel sur R dont une base est B = (e1 , e2 , e3 , e4 ). e Soit u l’endomorphisme de E tel que

G . 2. On dénit deux lois + et × sur Z2 telles que : ∀(a1 ; b1 ), (a2 ; b2 ) ∈ Z2 :   (a1 ; b1 ) + (a2 ; b2 ) = (a1 + a2 ; b1 + b2 )  (a1 ; b1 ) × (a2 ; b2 ) = (a1 × a2 ; b1 × b2 + a1 . b2 + a2 × b1 ) Montrer que (Z2 , + , ×) est un anneau unitaire commutatif. Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran. 1ère année 07 Février 2012 Durée : 2 heures (+30mn) Corrigé d'examen d'Algèbre du 1er semestre 1. (06 pts) 1. Soit E un ensemble. Montrer que pour A et

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 octobre 2013 Enoncés Espaces vectoriels 1 Exercice 6 [ 01685 ] [correction] Les parties de F(R, R) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ? Structure d’espace vectoriel Exercice 1 [ 01680 ] [correction] Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartésien E × E de l’addition usuelle : (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) et de la multiplication externe par les complexes définie par : (a + i.b).(x, y) = (a.x − b.y, a.y