Licence 1 : ECO-GESTION
Ann´e Universitaire 2011/2012 e

MATHEMATIQUES OPTIONNELLES : Alg`bre lin´aire 1 e e PARTIEL 2 - JANVIER 2012
Sections 1 et 2

Dur´e : 2 heures e Documents, portables, calculatrices . . . sont interdits. Aucun brouillon ne sera corrig´. e Toutes les r´ponses devront ˆtre justifi´es et r´dig´es avec soin. e e e e e Le barˆme est donn´ ` titre indicatif, il reste susceptible d’ˆtre modifi´. e e a e e

Question de cours (8 points)
1. Soit E un espace vectoriel et e1 , ..., ep p vecteurs de E. (a) D´finir le rang de la famille (e1 , ..., ep ). e (b) Donner une autre caract´risation du rang. e 2. Soient E et F des espaces vectoriels et u : E −→ F . (a) Quand dit-on que u est lin´aire de E dans F e (b) D´finir Im(u) et d´montrer que c’est un sous-espace vectoriel de F . e e (c) D´finir ker(u) et d´montrer que c’est un sous-espace vectoriel de E. e e ´ 3. Enoncer et d´montrer le th´or`me du rang. e e e

Exercice 1 (6 points)
On consid`re, dans R3 , les vecteurs : e e1 = (1, 1, 1) , e2 = (2, −1, 0) , e3 = (1, 3, 2) et e4 = (−1, 1, 0) . 1. Calculer le rang de la famille (e1 , e2 , e3 , e4 ) 2. Justifier que ces vecteurs forment une famille g´n´ratrice de R3 . e e 3. Extraire de cette famille une base B de R3 , en justifiant votre r´ponse. e 4. Soit v = (−2, 2, 1) un vecteur de R3 , calculer ses coordonn´es dans la base B e 1

Exercice 2 (9 points)
On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et w1 , w2 et w3 les vecteurs suivants : w1 = (3, −1, 2), w2 = (−1, 3, 2) et w3 = (1, 1, 2).   f (e1 ) = w1 Soit f l’application lin´aire de R3 dans lui mˆme d´finie par : f (e2 ) = w2 e e e  f (e3 ) = w3 1. (a) Soit v ∈ R3 , v = (x, y, z). Justifier que f (v) = (3x − y + z, −x + 3y + z, 2x + 2y + 2z). (b) Calculer f (w1 ), f (w2 ) et f (w3 ) puis les exprimer en fonction de w1 , w2 et w3 . En d´duire que f ◦ f = 4f . e 2. D´terminer ker(f ). (On donnera une base ainsi que la dimension de ker(f )). e f est-elle injective ? 3. (a) Quelle est la