espaces vectoriels

Pages: 30 (7453 mots) Publié le: 17 décembre 2013
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 octobre 2013

Enoncés

Espaces vectoriels

1

Exercice 6 [ 01685 ] [correction]
Les parties de F(R, R) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ?

Structure d’espace vectoriel
Exercice 1 [ 01680 ] [correction]
Soit E un R-espace vectoriel.
On munit le produit cartésien E × E de l’addition usuelle :
(x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y) et de la multiplication externe par les complexes
définie par : (a + i.b).(x, y) = (a.x − b.y, a.y + b.x).
Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel.
Celui-ci est appelé complexifié de E.

a) {f : R → R | f est monotone}
c) {f : R → R | f s’annule}

b) {f : R → R | f s’annule en 0}
d) {f : R → R | f est impaire}.

Exercice 7 [ 01686 ] [correction]
Montrer que les parties deF([a, b] , R) suivantes sont des sous-espaces vectoriels :
a) F = f ∈ C 1 ([a, b] , R) | f (a) = f (b)
b) G = f ∈ C 0 ([a, b] , R) |

b
a

f (t) dt = 0

Sous-espace vectoriel
Exercice 2 [ 01681 ] [correction]
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R2 ?
a) (x, y) ∈ R2 | x y
c) (x, y) ∈ R2 | x = y

b) (x, y) ∈ R2 | xy = 0
d) (x, y) ∈ R2 | x + y = 1

Exercice3 [ 01682 ] [correction]
Soient F = (x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0 et
G = {(a − b, a + b, a − 3b) | a, b ∈ R}.
a) Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3 .
b) Déterminer F ∩ G.

Exercice 4 [ 01683 ] [correction]
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de RN ?
a) (un ) ∈ RN | (un ) bornée
c) (un ) ∈ RN | (un ) convergente

b) (un ) ∈ RN | (un )monotone
d) (un ) ∈ RN | (un ) arithmétique

Exercice 5 [ 01684 ] [correction]
Soit F = (un ) ∈ RN | ∀n ∈ N, un+2 = nun+1 + un .
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de RN .

Exercice 8 [ 01687 ] [correction]
Soit ω ∈ C. On note ω.R = {ωx | x ∈ R}.
Montrer que ω.R est un sous-espace vectoriel de C vu comme R-espace vectoriel.
A quelle condition ω.R est-il un sous-espace vectoriel de Cvu comme C-espace
vectoriel ?

Exercice 9 [ 01688 ] [correction]
Soient u1 , . . . , un des vecteurs d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que l’ensemble F = {λ1 u1 + · · · + λn un | λ1 , . . . , λn ∈ K} est un
sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs u1 , . . . , un .

Exercice 10 [ 01689 ] [correction]
Soient E = F(R, R), C l’ensemble des fonctions de E croissantes et
∆ = {f −g/f, g ∈ C}
Montrer que ∆ est un sous-espace vectoriel de E.

Exercice 11 [ 01690 ] [correction]
Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un
sous-espace vectoriel d’une structure que l’on précisera.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

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Enoncés

2

Opérations sur lessous-espaces vectoriels

Sous-espace vectoriel engendré par une partie

Exercice 12 [ 01691 ] [correction]
Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.
Montrer
F ∩G=F +G⇔F =G

Exercice 18 [ 01696 ] [correction]
Comparer Vect(A ∩ B) et Vect(A) ∩ Vect(B).

Exercice 13 [ 01692 ] [correction]
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que F ∪ G est unsous-espace vectoriel de E si, et seulement si, F ⊂ G ou
G ⊂ F.

Exercice 14 [ 01693 ] [correction]
Soient F, G et H des sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. Montrer
que :
a) F ∩ (G + H) ⊃ (F ∩ G) + (F ∩ H)
b) F + (G ∩ H) ⊂ (F + G) ∩ (F + H).

Exercice 15 [ 01694 ] [correction]
Soient F , G et H trois sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que
F ⊂ G ⇒F + (G ∩ H) = (F + G) ∩ (F + H)

Exercice 16 [ 01695 ] [correction]
Soient F, G, F , G des sous-espaces vectoriels de E tels que F ∩ G = F ∩ G .
Montrer que
(F + (G ∩ F )) ∩ (F + (G ∩ G )) = F

Exercice 17 X MP [ 03116 ] [correction]
Soient E un espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E) nilpotent.
Soit S un sous-espace vectoriel de E stable par u et tel que
E = S + Imu
Montrer...
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