[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 octobre 2013

Enoncés

Espaces vectoriels

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Exercice 6 [ 01685 ] [correction]
Les parties de F(R, R) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ?

Structure d’espace vectoriel
Exercice 1 [ 01680 ] [correction]
Soit E un R-espace vectoriel.
On munit le produit cartésien E × E de l’addition usuelle :
(x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) et de la multiplication externe par les complexes définie par : (a + i.b).(x, y) = (a.x − b.y, a.y + b.x).
Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel.
Celui-ci est appelé complexifié de E.

a) {f : R → R | f est monotone}
c) {f : R → R | f s’annule}

b) {f : R → R | f s’annule en 0}
d) {f : R → R | f est impaire}.

Exercice 7 [ 01686 ] [correction]
Montrer que les parties de F([a, b] , R) suivantes sont des sous-espaces vectoriels :
a) F = f ∈ C 1 ([a, b] , R) | f (a) = f (b)
b) G = f ∈ C 0 ([a, b] , R) |

b a f (t) dt = 0

Sous-espace vectoriel
Exercice 2 [ 01681 ] [correction]
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R2 ?
a) (x, y) ∈ R2 | x y
c) (x, y) ∈ R2 | x = y

b) (x, y) ∈ R2 | xy = 0
d) (x, y) ∈ R2 | x + y = 1

Exercice 3 [ 01682 ] [correction]
Soient F = (x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0 et
G = {(a − b, a + b, a − 3b) | a, b ∈ R}.
a) Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3 .
b) Déterminer F ∩ G.

Exercice 4 [ 01683 ] [correction]
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de RN ?
a) (un ) ∈ RN | (un ) bornée
c) (un ) ∈ RN | (un ) convergente

b) (un ) ∈ RN | (un ) monotone
d) (un ) ∈ RN | (un ) arithmétique

Exercice 5 [ 01684 ] [correction]
Soit F = (un ) ∈ RN | ∀n ∈ N, un+2 = nun+1 + un .
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de RN .

Exercice 8 [ 01687 ] [correction]
Soit ω ∈ C. On note ω.R = {ωx | x ∈ R}.
Montrer que ω.R est un sous-espace vectoriel de C vu comme R-espace vectoriel.
A quelle condition ω.R est-il un sous-espace vectoriel de C