Anneau unitaire

pourra consulter l'annexe II pour plus de détails. -3- ¤¤  ¥¥ ¨¨  ¦¦  ©© §§ est construit de façon que tout les éléments de possède un symétrique pour +. ( , +, ×) est alors un anneau. Cet anneau est commutatif (car le produit est commutatif), unitaire (car le produit est construit de façon admet un neutre), intègre (ce qui signifie que : ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0). que tout élément non nul possède un inverse pour ×. ( , +, ×) est alors un corps. 2– Propriétés de

probable mettrait en scène une collision de la Terre avec un corps gros comme la planète Mars, juste après la formation des planètes. Ceci aurait arraché une fraction de la croûte et du manteau terrestre, et cet échantillon se serait réparti en un anneau autour de la planète, qui se serait ensuite aggloméré jusqu'à former une protoplanète. La Lune apparaît comme une grosse roche éteinte et sans vie. Sa surface est en effet grise et morte, criblée d'impacts météoritiques, cratères ou craterlets. C'est

Propriétés élémentaires (1/3) •  Notation: F[X] = anneau des polynômes à 1 variable et à coefficients dans le corps F. Un polynome est dit unitaire ssi son coefficient de tête est 1. •  Définition: Soit Q(X) F[X]; Q est irréductible ssi Q(X)=A(X).B(X) avec A(X) et B(X) dans F[X] implique degré(A)=0 ou degré(B)=0. •  Théorème: F[X] est factoriel (i.e. tout polynôme unitaire de F[X] s’écrit de manière unique comme produit de polynômes unitaires irréductibles) •  Théorème (fondamental de l’algèbre):

individu d'observer tous les prisonniers sans que ceux-ci ne puissent savoir s'ils sont observés, créant ainsi un "sentiment d'omniscience invisible" chez les détenus, d'où découlera une omniprésence correspondante. "À la périphérie un bâtiment en anneau ; au centre, une tour ; celle-ci est percée de larges fenêtres qui ouvrent sur la face intérieure de l'anneau ; le bâtiment périphérique est divisé en cellules, dont chacune traverse toute l'épaisseur du bâtiment ; elles ont deux fenêtres, l'une vers

vectoriels euclidiens. Dans cette perspective, il convient d’´tudier les notions d’adjoint e d’un endomorphisme, d’endomorphisme autoadjoint, de matrice hermitienne, d’automorphisme unitaire et de matrice unitaire, ainsi que la r´duction d’un endomorphisme autoadjoint. En revanche, aucune connaissance e sp´cifique sur le groupe unitaire n’est exigible des ´tudiants. e e 2.2.2 Analyse et g´om´trie diff´rentielle e e e – Concernant les espaces vectoriels norm´s et les suites et s´ries de fonctions, l’objectif

Géopolitique :Les questions à se poser · Comment déceler et appréhender les faits politiques au travers des rivalités de pouvoir et de territoires qu’ils impliquent ?· Quels sont les acteurs en jeu dans ces rivalités, quelles que soient leur nature, leur fonction et leur échelle d’action ?· En quoi ces jeux d’acteur sont-ils produits et producteurs de relations spatiales et de territoires ? · Quelles sont les diverses représentations territoriales en jeu, et en quoi peuvent-elle être facteurs

chaque niveau correspond un bus ou un réseau. Les constructeurs d’automates programmables ont créé des réseaux et des bus adaptés au besoin. Ainsi à chaque niveau, correspond un bus ou un réseau : • les "sensor bus", bus capteurs et actionneurs unitaires simples, • les "device bus", bus et réseaux pour la périphérie d’automatisme : variateurs, robots, axes… • les "field bus", réseaux de communication entre unités de traitement : automates programmables, superviseurs, commandes numériques… • les réseaux

e e e de probl`mes issus, non seulement des autres secteurs de l’alg`bre, mais aussi de l’analyse et de la g´om´trie. e e e e Il comporte en outre quelques compl´ments d’alg`bre et d’arithm´tique : groupes cycliques, id´aux de l’anneau e e e e Z, anneau Z/nZ, id´aux de l’anneau K[X]. e La maˆ ıtrise de l’alg`bre lin´aire en dimension finie et, notamment, de l’articulation entre le point de vue e e g´om´trique (vecteurs et points) et le point de vue matriciel, constitue un objectif essentiel. Le programme

exponentielle complexe et module de C∗ vers C∗ . B) Anneaux et corps 1 - Anneaux : distributivité, définition, sous-anneaux. 2 - Éléments inversibles d’un anneau. Le groupe multiplicatif A∗ . Corps, sous-corps. Exemples : Z, R, C, F(X, K) 3 - L(E) avec GL(E), en dimension finie caractérisation des éléments inversibles. 4 - Règles de calcul dans un anneau ou un corps commutatif, ou encore si xy = y x : formule du binôme, formule x n −y n = (x −y )(x n−1 +· · ·+y n−1 ), somme d’une progression géométrique

et seulement si a = a et b = b e 18 CENTRALE 32 N: a. Montrer que N est une norme. b. Pour n ∈ N on note Fn = {P ∈ R[X]/ deg(P ) Montrer qu’il existe an > 0 tel que ∀P ∈ Fn , N (P ) c. Montrer que an tend vers 0 quand n tend vers +∞. an n et P unitaire } R[X] P → R → sup |P (t)| t∈[−1,1] CENTRALE 33 1 f (c) = 0 1 (1 − t)(1 + xt) dt a. Domaine de d´finition de f ? e b. Montrer que f est C 1 sur ce domaine et ´tudier les variations de f e c. Expression de f ` l’aide de fonctions