Cercle Antarctique

1 alors G est le milieu du segment [CI] ». 7. Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients 3, −2 et 1 −→ −→ −→ − − − « L’ensemble des points M du plan tels que 3MA −2MB + MC = 1 est le cercle de centre G et de rayon 1 ». 8. Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par M un point quelconque du plan. −→ −→ − − « Le produit scalaire MA · MB est nul si et seulement si M = A ou M = B ». Exercices de géométrie 5 Baccalauréat

plus , comme A , I et B sont alignés dans cet ordre , On en déduit : soit : Il advient : (1) L'ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB] d) pour tout a positif (2) On introduit le milieu I du segment [AB] : (2) Si l'ensemble vide. Si , l'équation n'aura pas de solution. L'ensemble des points M est , (2) L'ensemble des points M représente le cercle de centre I et de diamètre Si , l'ensemble des points M est réduit au point I. e) pour tout a réel. (3) Même technique que

a touché au domaine de la numération et à l’infini. Un système de numération dont on fait référence dans le livre I de la Collection Mathématique de Pappus d’Alexandrie. La majeur partie des travaux d’Archimède concernait la géométrie, l’étude du cercle où il détermine une méthode d’approximation de pi par le biais de polygones réguliers et propose comme approximation les fractions qui suivent : 22/7, 223/71 et 355/113, l’étude de la parabole dont il présente deux quadrature (Sur cette étude il prolonge

exprimant la douleur des personnages en ce moment tragique. La composition se déroule en frise, fortement appuyée à gauche par le groupe de Marie et de Madeleine, à droite par la masse sombre des arbres. Au centre, les disciples forment un arc de cercle auquel se suspend la ligne brisée du christ. Toutes les lignes sont commandées par le cadavre c'est-à-dire que les personnages autour du christ forment un triangle. Il en résulte un ensemble harmonieux donnant aux personnages des attitudes plus

Justifier. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, , ) 1) Soit z un nombre complexe non nul d’argument , alors un argument de est a) b) c) 2) L’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que z = z + est a) l’ensemble vide b) un cercle c) une droite 3) Soit z un complexe de module 2, M le point d’affixe z et N le point d’affixe z + i z a) ON = 4 b) Le triangle OMN est équilatéral c) Le triangle OMN est rectangle 4) On désigne par x et y deux entiers naturels non nuls vérifiant :

zB ) = [2 ] et ( OA ; OB ) = [2 ]. zA 6 6 6 [2 ] b) r (O) = O et r (A) = B, donc l’angle de la rotation est ( OA ; OB ) = L’écriture complexe de r est z’= e 3) i /6 z. a) On sait que r (A) = B et on sait que l’image du cercle de rayon 2 de centre A est le cercle de centre B et de même rayon 2 ,c’est-à-dire ’. z +z 1 + i ( 3+2) b) zI = A B = 2 2 c) C , donc AC = 2 et C ’ donc BC = 2 ; or on sait depuis le 1)c) que OA = 2 = OB, donc le quadrilatère OABC est un losange. d) Les diagonales du

triangle ABC. e Exemple-type. 1. Trouver tous les points M du plan tels que −→ − −→ − M A + 2 M B = 3. Avec le barycentre G de (A ; 1) et (B ; 2), on obtient d’apr`s la proe pri´t´ 2 (propri´t´ de r´duction) e e ee e −→ − 3 MG = 3 ce qui d´finit le cercle de centre G et de rayon 1. e 2. Trouver tous les points M du plan tels que −→ − −→ − −→ − → − − M A + 2M B = 4 M C − M D . Avec les barycentres – G de (A ; 1) et (B ; 2) – H de (C ; 4) et (D ; −1) on peut r´duire ceci ` l’aide de la propri´t´ 2 e

⇐⇒ 4 23 juin 2009 A. P M. E. P . . Corrigé du baccalauréat S 2. a. Il faut résoudre le système : x2 + y 2 z = = z 2 ⇐⇒ x2 + y 2 z = = 2 2 2 et b. On résout de même le système : x2 + y 2 x = = On reconnait l’équation d’un cercle centré en (0 ; 0 ; 2), de rayon situé dans le plan horizontal d’équation z = 2. z 0 y2 x = = z 0 ⇐⇒ 3. Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels. a. On a successivement : • • • • • • • x ≡0 x ≡1 x ≡2 x ≡3 x ≡4 x ≡5 x

z + iz = iz − 1 ⇐⇒ z 2 − z + 1. Comme ∆ = 1 − 4 = −3 = i 3 , 3. z = z −1+i cette équation a deux solutions complexes : 1+i 3 z1 = zE = et 2 1−i 3 . z2 = zF = 2 1 3 On a |zE |2 = + = 1 ⇐⇒ |zE | = 1 = |zF |. 4 4 Ces deux points appartiennent donc au cercle C . 1 Comme ils ont pour partie réelle , ces deux points sont les deux points communs à ∆ et à C . 2 4. .Soit i(z + i) |i(z + i)| i(z + i) AM = a. z ′ = ⇒ z′ = = = OM ′ z −1+i z −1+i |z − 1 + i| BM b. Application du résultat précédent : M ∈ ∆ ⇐⇒ MA

perpendiculaire à (d) passant par F; Si e > 1 deux droites sécantes ; Si e = 0, le point O (qui est aussi le point F). Il n'existe donc pas de définition de cercle par foyer et directrice. En revanche, si pe = r et si e tend vers 0 (ce qui augmente à l'infini la distance entre le foyer et la directrice), l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon r. {text:list-item} Cas affine En géométrie analytique affine, les coniques sont les courbes planes algébriques du second