Cercle polaire

MATIERE GEOMETRIE SEQUENCE : LE CERCLE SEANCE 1 : découverte CYCLE 3 CM2 COMPETENCES : • Construire un cercle avec le compas • Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d’un cercle, rayon, diamètre • Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d’un modèle. • Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant

est un parallélogramme. Démontrer que G est le milieu de [AD]. Exercice 19 : la droite d’Euler Soit un triangle ABC. A’, B’ et C’ les milieux des cotés [BC], [CA] et [AB]. On appelle G le centre de gravité du triangle et O le centre du cercle circonscrit. 1. 2. 3. 4. Faire une figure assez ample. Donner la caractérisation vectorielle du milieu A’ de [BC]. Même chose pour B’ et C’. Soit H le point du plan tel que (1). En introduisant le point A à l’aide de la relation de Chasles

Trouver un carré Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), on considère A(1 ; 0) et B(–1 ; 0). Pour tout point M de la demi-droite [OA), on considère les points N, P et Q définis de la façon suivante. – N est le milieu de [BM]. –  e cercle de centre N passant par B coupe la droite (OJ) en 2 points. L’un a une L ordonnée positive, on le note P. – Q est alors le point tel que OMQP soit un rectangle. 1 Conjecture a) Faire la figure à l’aide du logiciel GeoGebra. b) Conjecturer

on obtient : 1. On a zD′ = π → −−′ − −→ −→ −→ − − u , OM = BM , AM + à 2π près. 2 5. Si le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors AM = BM ; le résultat de la question 3. donne alors : OM ′ = 1 ⇐⇒ M ′ appartient au cercle unitaire de centre O et de rayon 1. 6. Si le point M ′ appartient à l’axe des imaginaires purs, privé du point B, alors π → −−′ − −→ u , OM = et en utilisant le résultat de la question 4. on a alors : 2 π π −→ −→ − − −→ −→ − − = BM

consacré à la résolution de problèmes à l'aide de droites et de cercles, auxquels il applique des procédés algébriques. L'utilisation des coordonnées permet à Descartes d'unifier l'étude des courbes, mettant fin à une distinction remontant à l'Antiquité, où l'on privilégiait droites, cercles et coniques par rapport aux autres courbes. Ainsi, dans la Géométrie, résout-il l'équation générale de l'équation du sixième degré par intersection d'un cercle et d'une cubique. Il donne une méthode pour déterminer la

un ´l´ment de (Γ) d’affixe z = x + iy et M ′ d’affixe z ′ = x′ + iy ′ son image par f . ee 3 ′ 2 x 4 y ′2 x2 y 2 + = 1 et la relation x′ = x et y ′ = y entrainent 4 + = 1 i.e x′2 + y ′2 = 42 . Alors 9 16 3 9 16 Donc f (M) appartient au cercle (Γ′ ) de centre O et de rayon 2. Par cons´quent, f (Γ) ⊂ (Γ′ ). e R´ciproquement, soit M ′ un ´l´ment de (Γ′ ) d’affixe z ′ = x′ + iy ′ i.e tel que x′2 + y ′2 = 42 et M e ee 3 ′ d’affixe z = x + iy avec x = x et y = y ′ . 4 4 2 x2 y 2 ′ ′2

caractéristiques. 2) On pose z = x + iy, avec x et y réels. z' a) Pour z ¹ 0, calculer la partie réelle du quotient en fonction de x et de y z b) Démontrer que l’ensemble (G) des points du plan, tels que le triangle OMM’ soit rectangle en O, est un cercle dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer ( G) 3) Dans cette question, on pose z = 1+ i a) Vérifier que M Î ( G) et placer M et M’ sur la figure. b) Calculer z ' et l’aire du triangle OMM’ en cm². Exercice N°4 : æ

bois de teck dans la plupart des fenêtres de marquage de l'emplacement d'une paire de isoloirs en bois. Les angles du bâtiment sont biseautés (cut-off), ce qui permet aux spectateurs de voir les parties extérieures de la structure du bâtiment. A cercles d'arcade ombre du bâtiment au rez de chaussée. Un escalier circulaire à double construit en béton et devant accueille le visiteur en travertin lors de l'entrée dans la bibliothèque. En haut de l'escalier, le visiteur pénètre dans un hall spectaculaire

spécialisé en ingénierie. Archimède était également physicien. La géométrie était sa grande passion. Il était ami du roi Hieron II de Syracuse car il entra à son service en qualité d'ingénieur. Son œuvre en partant de la géométrie de l'étude du cercle où il définit une méthode d'approximation de Pi, les coniques plus spécialement la parabole, les aires et les volumes sur la sphère et le cylindre puis l'étude de la spirale. En mécanique il a inventé le principe du levier et la recherche de centre

2 243 833 habitant (2010) . Graphique de la population Parisienne http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Population_Paris_%281801-2008%29.png/800px-Population_Paris_%281801-2008%29.png - La Seine traverse la ville en formant un arc de cercle, y entrant par le sud-est pour en sortir au sud-ouest. Plus de trentes ponts permettent de franchir le fleuve. Vue panoramique à 180 degrés de la Seine près du pont Saint Michel  (à gauche) et de Notre-Dame (à droite de l'image). http://upload