TRANSFORMATIONS COMPLEXES

4ème année
Section : Maths

Novembre 2009
A. LAATAOUI

Exercice N°1 : © æ ® ®ö
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct ç O, u , v ÷ ( unité : 2 cm ) On considère : è ø
§ Le point A d'affixe a = 5 - i 3
§ Le point B tel que le triangle OAB soit équilatéral direct
§ Le milieu Q de [OB].
1. a) Démontrer que B a pour affixe b = 4 + 2i 3 . En déduire l'affixe q de Q.
b) Déterminer l'affixe z K du point K tel que ABQK soit un parallélogramme z -a est imaginaire pur. Qu'en déduit - on pour le triangle OKA ?
c) Démontrer que K zK Préciser la nature du quadrilatère OQAK
d) Placer les points A, B, Q et K dans le plan.
2a
2. Soit C le point d'affixe c =
.
3 z -b
a) Calculer K
; Que peut - on déduire pour les points B, C et K ? zK - c
b) Placer C sur la figure.
Exercice N°2 :

ùp 3p é

(

)

iq iq 2
2iq
Soit q Î ú ; ê .( Eq ) : z - 1+ 2ie z - 2 + ie - e = 0 û2 2 ë
1. Résoudre dans £ l’équation ( Eq ) . On désignera par z 'q et z ''q les solutions de ( Eq ) avec Re( z 'q ) <

Re( z ''q ).
2. Donner la forme exponentielle de z 'q . ì ù p 3p é ü
3. Soit F1 = íM q ( z 'q ) ;q Î ú ; ê ý . Déterminer un système d’équations cartésiennes de F1 puis tracer F1 û 2 2 ëþ î r r dans un repère orthonormé O; u; v .

(

)

ì ù p 3p éü
4. Soit F2 = íM ''q ( z1 ) avec z1 = 2z 'q +1- i et q varie sur ú ; êý û 2 2 ëþ î ù p 3p é
a) Donner une application f telle que "q Î ú ; ê on a f ( Mq ) = M ''q û2 2 ë
b) Déduire alors F2 puis le tracer dans le même repère.
Exercice N°3 : ©
® ®

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; u ; v ) (unité graphique : 4 cm)
1
3
-i
2
2
Pour chaque point M du plan, d’affixe z, on désigne par M1, d’affixe z1, l’image de M par la rotation de centre O
®
p et d’angle , puis par M’, d’affixe z’, l’image de M1 par la translation de vecteur (- u )
3
On note T la transformation qui, à chaque point M, associe le point M’.
On