Codage arithmétique

facteurs). Etablir que P (X) − X divise P [n] (X) − X Exercice 33 [ 03407 ] [correction] Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X) − X divise P (P (X)) − X. Exercice 34 [ 03632 ] [correction] Montrer que pour tout a, b ∈ N a | b ⇔ Xa − 1 | Xb − 1 Arithmétique Exercice 28 [ 02144 ] [correction] Soit k, n ∈ N et r le reste de la division euclidienne de k par n. Montrer que le reste de la division euclidienne de X k par X n − 1 est X r . Exercice 29 [ 02145 ] [correction] Soient n, m ∈ N . a) De

ILa numération On utilise dix chiffres pour écrire un nombre entier : 0−1−2−3−4−5−6−7−8−9 La position qu'occupe un chiffre dans un nombre indique combien d'unités, de dizaines, de centaines, de milliers... comporte ce nombre. Si l'on change l'ordre des chiffres d'un nombre, on obtient ainsi un nombre différent. De manière à lire facilement un nombre, on sépare chaque rangée de trois chiffres (en partant de la droite, c'est-à-dire du chiffre des unités) par un espace. On décompose le nombre

limite de la suite (v n ) On considère la suite (w n ) définie pour tout n entier naturel par wn = 1 . vn − 3 1 3 2. En déduire l’expression de (w n ), puis celle de (v n ) en fonction de n. 1. Démontrer que (w n ) est une suite arithmétique de raison − 3. Déterminer la limite de la suite (v n ). E XERCICE 4 Candidats AYANT SUIVI l’enseignement de spécialité 5 points On considère la suite (un ) définie par u0 = 3, u1 = 8 et, pour tout n supérieur ou égal à0: un+2 = 5un+1

PYTHAGORE traite de ce “Nombre Idée” ou “Nombre Pur” dans l’introduction à l’arithmétique. La théorie des nombres était ainsi divisée en deux disciplines : La première, Arithmologie à tendances métaphysiques, s’occupant du “Nombre Pur” , la seconde, Arithmétique, traitant de la science du nombre scientifique abstrait, la théorie des nombres scientifiques s’adresse également au philosophe, non au commun des mortels. En fin, une troisème science (ce que nous appelons aujourd’hui l’arithmétique) reléguée

Directrice à atteindre ses objectifs en répondant aux questions des trois problèmes ci-dessous. Problème 1 1°) On désigne par Un (n Є N ) la suite numérique définie par les notes des enfants ; et on suppose que U0= a- Justifie que Un est une suite arithmétique dont on précisera la raison b- Détermine U1, U2, U3 et U4 c- Donne l’expression général de Un puis écris Un+1 en fonction de Un d- Trouve la somme des notes des quinze (15) meilleurs enfants. Problème 2 3°) Pour son projet de cycles

3. Suites arithmétiques 3.1) Suites arithmétiques définies par récurrence Définition 1. : Soit r un nombre réel donné. On dit qu’une suite (un) est une suite arithmétique de raison r, lorsqu'on donne son premier terme u0 et chaque terme s’obtient en ajoutant r au terme précédent. Autrement dit : u 0 ∈ℝ est donné et pour tout entier naturel n : u n+1=u n+r , Si le terme initial est u0. Si la suite commence au rang 1, on commence à partir de u1. { u 0 =2 est une suite arithmétique de u n+1=u n+0

égale à 3. b. v n+1 − v n = Partie B 1. w n+1 − w n = 1 v n+1 − 3 vn − 3 1 − =− . 3 (v n − 3) 3 − 1 = vn − 3 1 9 6−v n −3 − 1 6 − vn 1 6 − vn − 3 −v n + 3 = − = = = vn − 3 3v n − 9 v n − 3 3v n − 9 3v n − 9 1 Ainsi la suite (w n ) est arithmétique de raison r = − . 3 1 1 1 1 2. w n = w 0 + nr = − n = − − n. 1−3 3 2 3 6 1 1 1 , on a v n = +3 = 1 1 +3 = + 3. Comme w n = vn − 3 wn −3 − 2n −2 − 3n 6 Or lim = 0, donc lim v n = 3. n→+∞ −3 − 2n n→+∞ Liban 4 28 mai 2013 A. P. M. E. P. Baccalauréat

Calcul de I3 : I2 = 4 000 × 0,003 × 2 = 24 € I3 = 4 000 × 0,003 × 3 = 36 € Calcul de A2 : Calcul de A3 : A2 = 4 000 + 24 = 4 024 € A3 = 4 000 + 36 = 4 036 € 3. Pour passer d’une valeur acquise à l’autre, on ajoute toujours 12 €. On a donc une suite arithmétique de premier terme 4 012 et de raison r = 12. (2 pts : 1 pt pour justification et nature, 0,5 pt pour 1er terme et 0,5 pt pour r) 4. La raison correspond aux intérêts produits pour un mois de placement. (1 pt) 5. Pour A1, n = 1 donc : A1 = 4 000

et 3 page 18. II. Suites arithmétiques : Définition d'une suite arithmétique. Dire que la suite (un) est arithmétique de raison r signifie que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r Ainsi, si (un) est une suite est arithmétique alors : Par exemple, la suite 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ... 2 est la suite arithmétique de 1er terme 2 et de raison 3. Suites numériques. Cours 2ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Remarque : pour démontrer qu'une suite est arithmétique, il suffit de prouver que

. 2 1.2 Modes de génération d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Sens de variation d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Suites arithmétiques 4 2.1 Définition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Expression en fonction de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Somme