Développement décimal

MMMCCLXXIV = MMMMDCCXVI1I Avant l'apparition de systèmes plus évolués, il était nécessaire, y compris pour les opérations les plus simples, d'utiliser des tables. Toutes les additions étaient réalisées ainsi. B/ Le système décimal La grande révolution a été l'apparition du système décimal. Les indiens ont inventé un système de numérotation de position en base 10 utilisant 9 chiffres (le zéro était remplacé par un espace). Les chiffres n'étaient pas tout à fait ceux que nous connaissons actuellement. Un

propriété est donc vraie au rang n. Il en résulte qu’elle est vraie pour tout entier n ≥ 1. 5 Etablir, pour n ∈ N∗ , les identités : n n (−1)p = 0 p g) p=0 n n n 2j h) j=0 n 2j + 1 = j=0 = 2n−1 Solution En appliquant la formule du binôme au développement de (1−1)n , on trouve la relation g). En séparant dans cette relation les indices paires et les indices impaires, elle s’écrit n n 2j j=0 n − n 2j + 1 j=0 = 0, Mais, en développant (1 + 1)n , et en séparant de même, on obtient n n 2j

.................................................................... 4 Chapitre II : Entiers : arithmétique ................................................................................................................... 6 Chapitre III : Développements - factorisations - identités remarquables............................................... 8 Chapitre IV : Racines carrées ........................................................................................................................

partir desquelles on recueille, ordonne, réduit, et condense les données. A cette fin, la statistique descriptive utilise des paramètres, ou synthétiseurs, des graphiques et des méthodes dites d'analyse des données (l'ordinateur a facilité le développement de ces méthodes). I. 1. 2. La statistique mathématique ou inductive C'est l'ensemble des méthodes qui permettent de faire des prévisions, des interpolations sur une population à partir des résultats recueillis sur un échantillon. Nous utilisons

partir desquelles on recueille, ordonne, réduit, et condense les données. A cette fin, la statistique descriptive utilise des paramètres, ou synthétiseurs, des graphiques et des méthodes dites d'analyse des données (l'ordinateur a facilité le développement de ces méthodes). I. 1. 2. La statistique mathématique ou inductive C'est l'ensemble des méthodes qui permettent de faire des prévisions, des interpolations sur une population à partir des résultats recueillis sur un échantillon. Nous utilisons

mm. 1/10 milliardième de m = 1X10-10m. 100 mille fois plus petit que 1/10 milliardième de m = 10-5 X 10-10 = 10-15 m. III Outils de description de l'Univers 1) Les puissances de 10. Notation scientifique: a.10n ou aX10n a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 n est un nombre entier positif ou négatif ex: bactérie: 1 millième de mm = 1.10-3 mm ou 10-3 mm. ---------------------------------- Distance Terre – Soleil: 150 millions de Km = 1,5.108 Km = 1 Unité Astronomique = 1 UA

L'addition Définition L'addition est une opération qui, a deux nombres quelconques, associe un nombre unique tel que ( a , b ) → a + b Exemple : 12 + 13 = 25 ( 12 ; 13 ) → 25 Propriétés L'addition est commutative : pour tous nombres quelconques, on a : a+b=b+a L'addition est associative : pour tous nombres a,b,c, on a : a+(b+c)= (a+b)+c Il existe, pour l'addition, un élément neutre : 0. Quel que soit le nombre naturel a, on a : a + 0 = 0 + a = a. 2. La technique

Chapitre 5 La fonction logarithme népérien Pour prendre un bon départ (page 118) Activité 1 2 1. a) f (1 × 1) = f (1) + f (1) donc f (1) = 0 . b) f est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ donc g est dérivable et pour tout réel y > 0 , g ′(y) = x f ′(xy) = f ′(y) . c) Donc pour réel x > 0 , g ′(1) = f ′(1) = x f ′(x) , donc : f ′(1) f ′(x) = ----------- . x 2. a) Pour tout réel y > 0 , h ′(y) = x f ′(xy) – f ′(y) . kk -- -- Or f ′(xy) = ----- et f ′(y) = -- , donc h ′(y) = k – k = 0 . xy y y y b) Donc

minutes donc 125 minutes = 2h5min | 3. Conversion d’unité de temps : 4.4 le système décimal (ex : 1,2h ou 3,8h) Règle : Pour passer des heures décimales en heures et minutes, on multiplie par 60 la partie décimale.Ex : 1,8h = 1h + 0,8x60 = ………….3,7h = ……………………………….. | 4.5 Le système sexagésimal (ex : 1h25min ou 3h15min) Règle : Pour passer des heures/minutes en heures décimales, on divise par 60 les minutes.Ex : 2h45 = 2h + (45/60) = …………..h | 4. Applications :

exercices Exercice 1 : notion de décibel Solution 1 La b d de motards produit huit fois plus de puissance sonore qu’une seule moto. 1. L bande d On a : 10 × log10 (8S) = 10 × log108 + 10 × log10S, ce qui revient à ajouter 10 fois le logarithme décimal de 8 au bruit d’une moto pour obtenir le nombre de décibels produit par les huit motos. Puisque : 10 × log108 = 10 × log1023 = 3 × 10 × log102 = 9 dB, la puissance des huit motos vaut : S = 87 + 9 = 96 dB. 2. Cela correspond à une puissance sonore