Équation aux dérivées partielles

. . . Outils mathématiques 5 Les 5.1 5.2 5.3 fonctions Fonctions remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développements de Taylor et de MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 33 33 35 35 TABLE DES MATIÈRES ii 5.4 Dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . 6 Les différentielles 6.1 Fonction d’une seule variable . . 6.1.1 Représentation

............................................................................2 1.7 Variables d'état et fonction d'état ........................................................................................................................3 1.7.1 Équation d'état pour un gaz parfait ..............................................................................................................3 1.7.2 Constante universelle des gaz ......................................................................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 42 45 49 50 52 53 53 CHAPITRE IV. Théorème de Runge, équations de Cauchy-Riemann et Théorème de Weierstrass IV.1. Théorème de Runge et enveloppes d’holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2. Résolution C ∞ des équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3. Le Théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

les modèle de croissance que nous examinerons dans le chapitre 5, It désignera l’investissement net du remplacement, égal à l’accroissement du stock de capital : It = (Kt+1 − Kt ) Investissement net En temps continu, l’investissement net est la dérivée par rapport au temps du stock de capital : It = dKt dt Investissement net en temps continu . Le tableau 3 montre que le capital augmente, en longue période à peu près au même rythme que la production (légèrement plus rapidement). Le stock de capital

MATIÈRES Thermodynamique-M.P.S.I Table des matières 1 Gaz parfait 1.1 Modèle microscopique du gaz parfait . . . . . . . . . . 1.1.1 La pression cinétique . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Théorème d’équipartition :Température cinétique 1.1.3 Equation d’état :Notion de gaz réel . . . . . . . 1.2 L’énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Capacités calorifiques

S.I TABLE DES MATIÈRES Table des matières 1 2 3 4 Gaz parfait 1.1 Modèle microscopique du gaz parfait . . . . . . . . . . 1.1.1 La pression cinétique . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Théorème d’équipartition :Température cinétique 1.1.3 Equation d’état :Notion de gaz réel . . . . . . . 1.2 L’énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Capacités calorifiques

nx. (a) Par récurrence. (b) En utilisant la formule du binôme, uniquement pour x (c) En utilisant la formule de Bernoulli, uniquement pour x 0. 0. (d) Proposez une quatrième méthode. 10. : On donne f (x) = 1 ; conjecturer une formule pour la dérivée n-ième f (n) (x) et la montrer par récurrence. x+a 2 n ′ σ. 2 EXERCICES MPSI R. FERRÉOL 13/14 A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME 11. : Partant de u0 = 1, calculer u1 , u2 , u3 puis conjecturer une formule pour un et la démontrer par récurrence

1953, (trad. Paris, Plon, p.142). "[...] The market may be considered as a computer sui generis which serves to solve a system of simultaneous equations. It operates like an analogue machine ; a servomechanism based on the feedback principle. The market may be considered as one of the oldest historical devices for solving simultaneaous equations [...]". Oskar Ryszard LANGE, "The Computer and the Market", in C.H.FEINSTEIN ED., Socialism, Capitalism and Economic Growth, Cambridge UP, 1967

expression est homogène. Soit : [T ] = [C ][a]α [G ]β [M S ]γ T = 1Lα M −β L3βT − 2β M γ Soit en égalisant les exposants suivants T, L et M : 1 = −2β γ T = C ⋅ aα ⋅ Gβ ⋅ M S 0 = α + 3β 0 = γ −β Soit après résolution du système de 3 équations à 3 inconnues : 3 α= 2 1 β=− 2 1 γ=− 2 On trouve bien le résultat attendu sans avoir pu calculer la constante C. contact: 95 55 64 10 page 3 AMAMI MOHAMED Cours-TD 2010/2011 1er année MPSI-PCSI Approximation générale en électrocinétique

Le domaine physique est nécessaire car il est indispensable de s'appuyer sur l'observation des phénomènes réels pour proposer un modèle de comportement et une modélisation du milieu extérieur. Le solveur est un outil qui permet de résoudre les équations et qui donne le résultat de la simulation. Le domaine de validité fixe le cadre limite des concepts utilisés. La modélisation est pertinente si l'écart entre les réponses expérimentales et les résultats issus de la simulation est petit. 3/24