Espace nul

équation de type : – où les coefficients sont non tous nuls. C’est un sous-espace affine de dimension dans . EXEMPLE : La notion d'hyperplan est confondue avec celle  d’une droite dans le plan  d’un plan dans l’espace . Deux équations linéaires sont équivalentes s’ils ont exactement les mêmes solutions. Si on multiplie, divise, additionne ou soustrait les deux membres d’une équation par un même nombre non nul, on obtient une équation équivalente à . EXEMPLE : est équivalente à l’équation

. . . vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 TABLE DES MATIÈRES 4.5.2 Droites dans l’espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Espaces euclidiens et applications linéaires 5.1 Espaces de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Norme et distance dans Rn . . . . . . . . . . . 5.1

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

Changement de bases 1. Position du problème On considère un espace vectoriel de dimension , dont on connaît une base On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de

Nouvelle silhouette urbaine : hauteur des bâtiments ( jusqu'à 50 m ) * Renforcement des transports en commun (amélioration du service transilien, désaturation de la ligne 13 etc…) * Espace vert central : parc Martin Luther King (très bien conçu) * Eco quartier : bâtiments conforme sau plan climat, bilan nul en CO2, géothermie, collecte pneumatique des dechêts, 80 % d’energie renouvelable * Villes de nos rêves * Sa taille par rapport à son emplacement (50 Ha au cœur du XVII°)

, e3 }. f est l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE 2. Faire, pour la matrice A suivante, une étude semblable à celle de l’exercice 1

matrice dans la base canonique est donn´e par e 1 0 1   A =  −1 2 1  . 1 −1 1 1. Montrer que f est trigonalisable. 2. Montrer que l’espace propre associ´ ` la valeur propre 1 est de dimension 1. Montrer que ea u = (1, 1, 0) est un vecteur non-nul de cet espace propre. 3. Montrer que v = (0, 0, 1) est tel que (f − idR3 )(v) = u. 4. Chercher un vecteur propre w associ´ ` la valeur propre 2. Montrer que (u, v, w) est une ea base de R3 . Calculer la matrice T de f dans la base (u, v, w). 5. Calculer f

Tous élément non nul de ?′ est symétrisable pour la loi × dans ?′. MORPHISME DE CORPS Soit f une application de ( ?1 , +1 ,×1 ) dans ( ?2 , +2 ,×2 ). Alors f est un morphisme de corps si : i. ii. iii. ∀( ?, ?) ∈ ?1 ², ?(?+ ?1 ?) = ? ( ?)+ ?2 ?(?) ∀( ?, ?) ∈ ?1 ², ?(? × ?1 ?) = ? ( ?) × ?2 ?(?) ?(1 ?1 ) = 1 ?2 . 2 ALGEBRE GENERALE ESPACE VECTORIEL SOUS-ESPACE VECTORIEL Soit ( ?, + ? ,×) un corps commutatif. Soit (E,+ ? ) Une partie F non vide d’un ?-espace vectoriel un groupe

Equation du plan passant par un point 3 P0 et ayant vecteur normal n . . . . . 4 TABLE DES MATIÈRES 4.5.2 Droites dans l'espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5 Espaces euclidiens et applications linéaires 5.1 Espaces de dimension 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.3 65 65 65 66 67 68 69 70 71 71 72 72 75 76 77 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n . . . 2.4.2 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer ) 3 Espaces Vectoriels 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3 4 4 5 5 7 7 10 10 13 15 15 16 17 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . Famille Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases . Existence de Bases ( en