Changement de bases
1. Position du problème
On considère un espace vectoriel de dimension , dont on connaît une base On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a

La matrice

sera égale à :

Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de l'espace vectoriel. La matrice est alors appelée matrice de passage de la base à la base

2. Rôle de
Reprenons l'exemple précédent. La matrice est inversible et l'on a :

Quelle est la signification de cette matrice ? On peut formellement écrire :

Autrement dit On a Et donc Ce qui donne

On en tire

Ce résultat est tout à fait général. En dimension , si l 'on a :

La matrice

est égale à

On a

Ce qui donne Si la matrice Et donc La matrice permet donc d'exprimer les composantes des vecteurs dans la nouvelle base est inversible on aura encore

3. Formule de changement de base.
On considère un vecteur dans la base Ce même vecteur s'écrivant

s'écrit

dans la base Quel lien a-t-on entre les réels Appelons la matrice de passage de

et les réels à

?

Avec les notations de la section précédente, posons On a dans la base

On a donc :

Donc En pratique, nous connaissons les "anciennes composantes" : nouvelles (celles que l'on a dans la nouvelle base : ). On a et nous voulons déterminer les

Et donc

Synthétisons tout cela. Appelons et . On a

Prenons un exemple. On considère l'espace vectoriel Montrer que la famille On considère alors le vecteur Exprimer les composantes de On a

rapporté à la base canonique. On considère les vecteurs

est une base de dans la base

Cette matrice est inversible et l'on a

On a On a

Posons

Donc

4. Changement de bases et endomorphisme
On considère un espace vectoriel dont on connaît une