´ Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices
Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e
Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a
   

Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e
Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π 3 . 0 0 π
 

Exercice 3 - Avec un param`tre - L2/Math Sp´ e e
Soit m un nombre r´el et f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique e est 1 0 1   −1 2 1 . A= 2−m m−2 m 1. Quelles sont les valeurs propres de f ? 2. Pour quelles valeurs de m l’endomorphisme est-il diagonalisable ? 3. On suppose m = 2. Calculer Ak pour tout k ∈ N.
 

Exercice 4 - Trigonalisation - avec indication - L2/Math Sp´ e
Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est donn´e par e 1 0 1   A =  −1 2 1  . 1 −1 1 1. Montrer que f est trigonalisable. 2. Montrer que l’espace propre associ´ ` la valeur propre 1 est de dimension 1. Montrer que ea u = (1, 1, 0) est un vecteur non-nul de cet espace propre. 3. Montrer que v = (0, 0, 1) est tel que (f − idR3 )(v) = u. 4. Chercher un vecteur propre w associ´ ` la valeur propre 2. Montrer que (u, v, w) est une ea base de R3 . Calculer la matrice T de f dans la base (u, v, w). 5. Calculer f k (v) pour tout k ∈ N. En d´duire T k . e 6. Calculer Ak pour tout k ∈ N.
 

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Exercice 5 - Trigonalisation - sans indication - L2/Math Sp´ e
Trigonaliser la matrice suivante : 1 4 −2   A =  0 6 −3  . −1 4 0
 

Exercice 6 - Racine cubique - L2/Math Sp´ e
−5 3 . Montrer que A est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. 6 −2 En d´duire qu’il existe une matrice B telle que B 3 = A. e Soit A =

Exercice 7 -