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Pages: 8 (1884 mots) Publié le: 1 janvier 2012
´ Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices
Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e
Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a
   

Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´e
Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π 3 . 0 0 π
 

Exercice 3 - Avec un param`tre - L2/Math Sp´ e e
Soit m un nombre r´el et f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique e est 1 0 1   −1 2 1 . A= 2−m m−2 m 1. Quelles sont les valeurs propres de f ? 2. Pour quelles valeurs de m l’endomorphisme est-ildiagonalisable ? 3. On suppose m = 2. Calculer Ak pour tout k ∈ N.
 

Exercice 4 - Trigonalisation - avec indication - L2/Math Sp´ e
Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est donn´e par e 1 0 1   A =  −1 2 1  . 1 −1 1 1. Montrer que f est trigonalisable. 2. Montrer que l’espace propre associ´ ` la valeur propre 1 est de dimension 1. Montrer que ea u = (1, 1, 0)est un vecteur non-nul de cet espace propre. 3. Montrer que v = (0, 0, 1) est tel que (f − idR3 )(v) = u. 4. Chercher un vecteur propre w associ´ ` la valeur propre 2. Montrer que (u, v, w) est une ea base de R3 . Calculer la matrice T de f dans la base (u, v, w). 5. Calculer f k (v) pour tout k ∈ N. En d´duire T k . e 6. Calculer Ak pour tout k ∈ N.
 

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´Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e
Exercice 5 - Trigonalisation - sans indication - L2/Math Sp´ e
Trigonaliser la matrice suivante : 1 4 −2   A =  0 6 −3  . −1 4 0
 

Exercice 6 - Racine cubique - L2/Math Sp´ e
−5 3 . Montrer que A est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. 6 −2 En d´duire qu’il existe une matrice B telle que B 3 = A. e Soit A =

Exercice 7 -Application ` des  a suites r´currentes - L2/Math Sp´ e e 
−4 −6 0   5 0 . Soit A la matrice  3 3 6 5

1. Diagonaliser A. 2. Calculer An en fonction de n. 3. On consid`re les suites (un ), (vn ) et (wn ) e les relations suivantes :   un+1 =  v =  n+1  w = n+1
 

d´finies par leur premier terme u0 , v0 et w0 et e −4un − 6vn 3un + 5vn 3un + 6vn + 5wn

un   pour n ≥ 0. On pose Xn=  vn . Exprimer Xn+1 en fonction de A et Xn . En d´duire e wn un , vn et wn en fonction de n.

Exercice 8 - Base de matrices diagonalisables... - L2/Math Sp´ e
Existe-t-il une base de Mn (R) constitu´e de matrices diagonalisables dans R ? e

Exercice 9 - D´duire du cas 2x2 - L2/Math Sp´ e e
1. Soit A = 0 a dans M2 (R). Donner une condition n´cessaire et suffisante pour que e b 0 A soitdiagonalisable.

2. Soient p ≥ 1 et α1 , . . . , α2p des r´els. Soit A = (ai,j ) ∈ M2p (R) tel que ai,2p+1−i = αi si e 1 ≤ i ≤ 2p et ai,j = 0 sinon. Donner une condition n´cessaire et suffisante pour que A soit e diagonalisable sur R.

Exercice 10 - Matrice d’ordre n - L2/Math Sp´ e
Soit, pour n ∈ N, la matrice Mn de Mn (R) dont les coefficients diagonaux sont ´gaux ` e a 1, 2, . . . , n et lesautres coefficients sont tous ´gaux ` 1. Soit Pn le polynˆme caract´ristique de e a o e Mn . 1. D´montrer que Pn+1 (X) = (n − X)Pn (X) + (−1)n X(X − 1) . . . (X − (n − 1)). e http://www.bibmath.net 2

´ Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e
2. D´montrer que, pour tout n ≥ 1 et tout k ∈ {0, . . . , n − 1}, (−1)k Pn (k) > 0. e 3. En d´duire que Mn est diagonalisable et que chaqueintervalle ]0, 1[, ]1, 2[, . . . , ]n − 1, +∞[ e contient exactement une valeur propre de Mn .

Exercice 11 - Un bloc - L2/Math Sp´ e
Soit A ∈ Mn (C) une matrice diagonalisable et B = 0 A In 0 ∈ M2n (C). Donner les

` valeurs propres de B et la dimension des sous-espaces propres correspondants. A quelle condition B est-elle diagonalisable ?

Exercice 12 - Triangulaire sup´rieure par blocs -...
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