Multiplicateur de Lagrange

du coût d’ajustement ne sont plus les mêmes puisque l’entreprise actualise le futur à un taux incorporant l’effet des contraintes de liquidité de l’entreprise. La difficulté empirique est qu’apparaît alors dans l’équation d’Euler le multiplicateur de Lagrange de la contrainte de financement qui est une variable inobservable, fonction des caractéristiques de l’entreprise. La conséquence essentielle est que les conditions d'orthogonalité de l'équation d'Euler (cf. équation [5] dans l’encadré

de coordonnées (0, 0, 1) qui appartiennent au cercle de R3 intersection de la sphère d’équation h1 = 0 : de centre (1, 2, −1) et de rayon 5, avec le plan d’équation h2 = 0. Cette méthode existe et est connue sous le nom de méthode des multiplicateurs de Lagrange. Avant de l’étudier, nous aurons besoin de faire quelques rappels sur les fonctions de plusieurs variables (comme les fonctions f et h que nous venons de croiser) et d’introduire quelques notions élémentaires de géométrie dans l’espace

paramètres de la fonction d’utilité. On construit la fonction d’optimisation de Lagrange pour maximiser l'utilité sous contrainte budgétaire, N ∑ PC i =1 i i =D (1.2) nous avons, N N ⎛ ⎞ L = ∑ mi log ( Ci − θi ) + λ ⎜ D − ∑ PC i i⎟ i =1 i =1 ⎝ ⎠ (1.3) Où λ est le multiplicateur de Lagrange. Les conditions de premier ordre du problème de maximisation, en dérivant la fonction de Lagrange pour Ci et λ , sont, mi = λ Pi ( Ci − θi ) N ∑ PC i =1 2 i i

I. CHRONOLOGIE DE QUELQUES DECOUVERTES 1787:- LAVOISIER établit une nomenclature qui servira de base pour la classification périodique des éléments. - Jospeh-Louis LAGRANGE met en place la mécanique analytique. 1789: - BERTHOLLET invente l'eau de javel - Joseph GUILLOTIN invente la guillotine - Humphry DAVY, chimisite physicien britannique, et Benjamin THOMPSON, comte de Rumford, mesurent avec précision la chaleur qui peut être

vecteur des multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes d’incitation et est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte de participation . En admettant que les conditions de qualifications sont vérifiées, les conditions nécessaires du premier ordre sont données par : ( étant la rémunération optimale) qui conduisent aux équations qui caractérisent le contrat optimal : A ces conditions, sont ajoutées les conditions de non négativité des multiplicateurs de Lagrange et les

lagrangien (voir feuille) A l’optimum le supplément de coût occasionné par une hausse de la production suite à l’utilisation d’une unité supplémentaire du facteur i doit être égal au prix d’achat du facteur i. λ est le multiplicateur de Lagrange. Le multiplicateur de Lagrange est rien d’autre qu’un cout marginal. C’est le cout supplémentaire supporté par l’entreprise qui produit une unité d’output L’inverse 1/λ nous indique dans quelle mesure la production totale augmente quand l’entreprise

contrainte, autrement dit celui de la détermination d'un "extremum lié". Ce problème peut être résolu par la méthode dite de substitution mais on lui préfère en général la méthode dite de Lagrange. La méthode de Lagrange (ou méthode du lagrangien ou encore méthode du multiplicateur de Lagrange, multiplicateur noté ) consiste à former à partir de la fonction objectif f(x,y) et de la contrainte g(x,y) -qui doit être du type g(x,y) = 0- la fonction L (x,y,) = f(x,y) + g(x,y). Les conditions

nécessairement être une fonction d'utilité représentent les mêmes préférences si la transformation est croissante. La loi de la demande : - Si le revenu augmente, alors la demande augmente; - Si le prix augmente, alors la demande diminue. Multiplicateur de Lagrange : Elle représente l'utilité marginale du revenu. C.-à-d. dégagée par unité de revenu supplémentaire à l'équilibre. Les fonctions de demande : sont des fonctions x1(.) et x2(.) qui expriment la quantité à consommer de chaque bien en fonction

individus afin de maximiser la satisfaction de A. On cherche donc à déterminer les variables (Xa, Ya) en maximisant la fonction d’utilitéUa(Xa, Ya), sous la contrainte de UbX0- Xa,Y0- Ya- U0=0 Pour résoudre ce problème, on doit utiliser le multiplicateur de Lagrange γ : L= UaXa,Ya+γ .Ub(X0- Xa,Y0- Ya) Les dérivées partielles du lagrangien par rapport à Xa et Ya se traduisent par les fonctions : ∂L∂Xa=∂Ua∂Xa+γ.∂Ub/∂Xa=UmXa-γ.UmXb ∂L∂Ya=∂Ua∂Ya+γ.∂Ub/∂Ya=UmYa-γ.UmYb Si on annule ces dérivées partielles

= 0, donc (0; 0) n’est pas un extremum de f1 . Les valeurs propres de Hess f ( 2; 2) sont 1 = 16 et = 24 sont strictement positives donc f atteint les minimums strictes au points A et B. 1 2 Extremums liés Pour comprendre l’intérêt des multiplicateurs de Lagrange, considérons une fonction f 2 C 2 (U; ; R) avec U un ouvert de Rn . Les points critiques de f sur l’ouvert U sans contraintes (sans conditions sur les xi ) véri…ent : n X @f @f :dxi = 0 ) (x) = 0 df = @xi @xi i=1 car (dx1 ; dx2 ; :::; dxn