Multiplicateur de Lagrange

libre, obtenu à partir des conditions du premier ordre (différentielles des variables de commande égales à 0), il faut tout d’abord déterminer le Lagrangien (L) de ce programme qui intègre la contrainte égalité précédente grâce à un coefficient de Lagrange λ. Le programme et le Lagrangien s’écrivent ainsi : Programme : Max U(q1, q2) (q1, q2) Lagrangien : L(q1, q2, λ) U(q1, q2) λ(R p1q1 p2q2) Dans le Lagrangien, la contrainte égalité rajoute une quantité nulle à la fonction d’utilité. Cet artifice mathématique

libre, obtenu à partir des conditions du premier ordre (différentielles des variables de commande égales à 0), il faut tout d’abord déterminer le Lagrangien (L) de ce programme qui intègre la contrainte égalité précédente grâce à un coefficient de Lagrange λ. Le programme et le Lagrangien s’écrivent ainsi : Programme : Max U(q1, q2) (q1, q2) Lagrangien : L(q1, q2, λ) U(q1, q2) λ(R p1q1 p2q2) Dans le Lagrangien, la contrainte égalité rajoute une quantité nulle à la fonction d’utilité. Cet artifice mathématique

3.2 Equation lin´aire du premier ordre e a coefficients constants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 3.2.1 Solutions particuli`res. . . . . . . . . . . . . . . e 3.3 Applications ´conomiques . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1 Le multiplicateur de Samuelson . . . . . . . . . 3.3.2 L’ ´volution oscillante des prix :toile d’ araign´e e e . . . . . . . . . . . . . . . . 114 . 114 . 116 . 117 . 118 . . . . . . . . . . . . . . . .

donné. Le programme est alors : MaxQ = f(L,K) Sous la contrainte C = wL + rK Résolution algébrique : Quand on a une contrainte, on utilise la méthode de Lagrange (voire rappels mathématiques). L(L,K,λ) = f(L,K) + λ(C – wL –rK) avec λ le multiplicateur de Lagrange Les conditions de premier ordre de l’optimisation de Lagrange sont : [dἿ(L,K,λ)]/dL = 0 [df(L,K)]/dL – wλ = 0 [dἿ(L,K,λ)]/dK = 0 [df(L,K)]/dK – rλ = 0 [dἿ(L,K,λ)/dλ = 0 C – wL – rK = 0 df(L,K)/dL = λw

dérivable jusqu’à un certain ordre, le théorème des accroissements finis se généralise à l’aide des dérivées successives. Les formules de Taylor se différencient par un reste qui peut s’exprimer sous différentes formes. La formule de Taylor-Lagrange Soit f une fonction n fois continûment dérivable sur [a, b] et telle f (n+1) existe sur ]a, b[. Alors il existe un c ∈ ]a, b[ tel que : f (b) = f (a) + b−a (b − a)2 (b − a)n (n) (b − a)n+1 (n+1) f (a) + f ”(a) + · · · + f (a) + f (c)

K. Pk. Trois méthodes sont utilisées : - la substitution - le Lagrangien - les propriétés économiques et mathématiques du TMST. Pour déterminer la combinaison optimale des facteurs de production selon la méthode du multiplicateur de Lagrange, l’Ese dispose de deux cas de figures : → Minimiser le coût sous la contrainte de la production  La fonction objectif est alors : Min D= T. pT+ K. Pk. Sous la contrainte : X - f(T,K) = 0 (avec X un niveau de production donné). L s’écrit

plusieurs variables sous contrainte max f (x1 , x2 ) x 1 ,x 2 sc g (x1 , x2 ) = 0 Pour poser les CPO et CSO de ce problème, il est commode de recourir au Lagrangien : L (x1 , x2 , λ) = f (x1 , x2 ) + λg (x1 , x2 ) L’introduction du multiplicateur de Lagrange permet de transformer un problème d’optimisation sous contrainte à deux variables (x1 et x2 ) à un problème d’optimisation sans contrainte à trois arguments (x1 , x2 et λ). On peut donc écrire le programme de maximisation de la fonction

a connu son expansion. Beaucoup de chercheurs ont adopté un programme linéaire en nombre entier (MILP), résolu par une base de la relaxation de Lagrange : une technique qui tend à compacter le nombre de contraintes du problème en les intégrants dans la fonction objectif moyennant un facteur, connu sous le terme de coefficient ou multiplicateur de Lagrange. Parmi ce type de travaux, on peut évoquer les études de Fumero, F. & Vercellis, C. (1999), Jayaraman, V., Pirkul, H. (2001), Sambasivan, M., Yahya

l’effort fourni par le manager, cet effort qui maximisera son revenu (dividende). Min (_w,e^E)(w,π) tel que E[v(w(π)) – g(e)] ≥ ¯u La condition de premier ordre correspondant à ce problème : 1/(v^' [w(π)])= y ou y est le multiplicateur de Lagrange associé au problème. Si v’(w) est une fonction décroissante, une seule valeur w maximise le revenu du propriétaire. Cela signifie que w(π) est une constante, c'est-à-dire que le salaire, qui maximise la rémunération du manager et par

propriétés. V. Tests d’hypothèses 5.1. Méthode des intervalles de confiance. 5.2. Méthode générale de construction des tests. 5.3. Le critère du rapport des vraisemblances (LR). 5.4. Le critère de Wald (W). 5.5. Le critère des multiplicateurs de Lagrange (LM). 5.6. Comparaison des trois critères LR, W, et LM. ii Seconde partie: Modèles économétriques à une équation I. La régression simple: estimation ponctuelle 1.1. Description du problème et exemples économiques 1.2.