Pafnouti Tchebychev

x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac{1}{2}\ln (1-\frac{1}{x^2}) avec cette fois ρ balayant seulement les zéros non triviaux de zêta (les triviaux ont été regroupés dans le dernier terme). A gauche on reconnaît la fonction de Tchebychev ψ(x), asymptotiquement équivalente à π(x) ln(x). Le théorème des nombres premiers est par conséquent presque démontré, puisqu'à droite on voit le terme x attendu. Le dernier point à montrer est que les autres termes de droite sont négligeables devant

candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations : On note E l’espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans ! . On désigne par E n l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra

λ λ car pour tout x 0 on a I[λ,+∞[(x) x/λ. En général on observe que le même argument peut être appliqué à l’espérance mathématique P(X car si F G alors 0 λ) = E[I[λ,+∞[(X)] E[X/λ] E[F ] E[G]. Lemme 11. (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev) Si X est une v.a. réelle telle que σ 2 = Var(X) < ∞ et µ = E[X] alors pour tout ε > 0 on a que 2 2 P(|X − µ| > ε) E[(Xε− µ) ] = σ2 2 ε Démonstration. En utilisant l’inégalité de Markov avec la v.a. (X − µ)2 on obtient que P(|X − µ| > ε)

hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes de Jacobi et Polynômes de Tchebychev 02 David Hilbert David Hilbert a donné l'impulsion de nombreuses recherches mathématiques du XXème siècle . Il est né le 23 janvier 1862 à Königsberg. Il a fait sa thèse à l'université de la même ville, sous la direction de Lindemann, le mathématicien

qui était un joueur impénitent. Un joueur parie qu'il tirera un as en huit coups de dés, mais la police interrompt le jeu après le troisième coup. Les assistants protestent, mais comment doit-on répartir les mises ? Cette question fut à Pafnouti Lvovitch Tchebychev Pierre de Fermat l'origine d'une correspondance entre Pascal et Fermat, et (Okatovo, 16/5/1821 (Beaumont-de-Lomagne, St-Pétersbourg, 8/12/1894) leurs réflexions furent publiées en 1657 dans Tractatus 17/8/1601 Castres, 12/1/1665) de ratiociniis

j " 31  : (6.42)  a I, nous avons la distance des valeurs absolues aussi nommée distance de Manhattan, du nom du quartier new-yorkais,  a P, nous retrouvons la distance euclidienne. Lorsque  3 CI, nous obtenons la distance de Tchebychev : dT @xiH ; gq A a m—x jzr   zqr j: " r retenu la distance de Mahalanobis globale (métrique (6.43) D'autres distances sont envisageables. Cependant, pour l'AFC il est généralement Wq est la matrice des covariances internes au sous-nuage Iq

type I, et qui peut modéliser de nombreux phénomènes aléatoires positifs. Y Si Y est une v.a. qui suit une loi bêta de type I et de paramètres r et s, le quotient X = -----------1–Y suit une loi bêta de type II et de mêmes paramètres. Bienaymé-Tchebychev (inégalité de) 21 A Formulaire Deux paramètres réels r > 0 et s > 0 ; valeurs sur les réels positifs. ➤ Loi de probabilité B C – densité : 1 xr – 1 f ( x ) = ---------------- ⋅ ------------------------ ( x ≥ 0 ) B ( r, s )