Statistiques Gubinelli Massimiliano

DEMI2E Polycopié 3 - v.1 20110207

Convergence et théorèmes limites
Préliminaires
d r 1/r Notation. Si u ∈ Rd on note par u r la norme Lr du vecteur u: u r = ( . i=1 |ui | ) d Comme toutes les normes sont équivalentes dans R on prendra r = 1 et on notera u = u 1 = r i=1 |ui |. « iid » est abrégé pour « indépendantes et identiquement distribuées ». On notera X1, , Xn , ou (Xn)n 1 une générique suite (infinie) de v.a.

Convergence en loi
Théorème 1. Soit (Xn)n 1 une suite de v.a. à valeurs dans Rd et X une v.a. à valeurs dans Rd. Les conditions suivantes sont équivalentes (c-à-d chacune d’entre elles implique toutes les autres): 1. ∀t ∈ Rd limn→∞ φXn(t) = φX (t);

2. limn→∞FX (x) = F (x) pour tout x ∈ Rd point de continuité de FX;

3. limn→∞E[f (Xn)] = E[f (X)] pour tout fonction f : Rd → R continue et bornée.
1

Si une de ces conditions est vérifiée (et donc toutes) on dit que (Xn)n distribution) vers X (et l’on note Xn→X). Rappel. Dans
L

converge en loi (ou en

Rd, FX (x) = FX (x1,

, xd) = P(X1

x1,
1

, Xd

xd).

Exemple 2. On considère la suite de v.a. (Xn)n à valeurs dans {1/n, 2/n, 3/n, , (n − 1)/n, 1}. φXn(t) = E[eit Xn] = donc n→∞ n

telle que Xn est une v.a. uniforme discrète

k=1

1 it k/n eit/n e = n n

n−1

eit k/n = k=0 eit/n ei t − 1 n eit/n − 1

lim φXn(t) = lim

Si X ∼ U([0, 1]) alors

eit/n eit − 1 eit − 1 = . i t/n it n→∞ n e −1
1

φX (t) =
0

ei txdx =

eit − 1 it

et donc Xn→X. Exemple 3. Soient U1, U2, des v.a. iid U ([0, 1]). On pose Xn = n min1 (Xn)n 1 converge en loi vers une v.a. X ∼ E(1). Soit x ∈ R FXn(x) = P(n min Uk
1 k n 1 k n k n Uk .

L

Montrons que

x) = 1 − P(n min Uk > x) = 1 − [P(U1 > x/n)]n x/n)]n = 1 − [1 − FU1(x/n)]n 1

=1 − [1 − P(U1

et donc   1 − [1 − (x/n)]n FXn(x) = 0  1 si x/n ∈ [0, 1] si x/n < 0 si x/n > 1

Fixons x > 0 et choisissons n suffisamment grand tel que x/n ∈ [0, 1]. Alors n→∞ lim FXn(x) = lim