Polynôme de Hurwitz

de la fonction de transfert en boucle fermée F(z); c’est-à-dire les racines de l’équation caractéristique 1 + G(z) = 0. Cette équation n’est généralement facile à résoudre que dans le cas où le degré du polynôme 1 + G(z) est inférieur ou égal à deux. Cette résolution se complique lorsque ce polynôme dépend d’un paramètre (ou plusieurs). En effet, dans ce cas il est difficile, voire impossible, de calculer les racines afin de conclure sur la stabilité. D’où la nécessité de disposer des outils (critères)

est basé sur le Tableau de Routh et le critère graphique est basé sur les représentations graphiques de fonction de transfert fréquentielle. 4.2.2. Critère de Routh de stabilité Le critère de Routh est un critère algébrique établi à partir du polynôme situé au dénominateur de la fonction de transfert. Soit D(p) = an⋅pn + an-1⋅pn-1 + … + a1⋅p + a0 , avec an > 0 Le critère de Routh s’énonce de la manière suivante : - Si certains ai sont négatifs ou nuls, certaines racines sont à partie réelle positive

TP4: Stabilité des systèmes asservis 4.1 Objectif  Nous allons simuler la réponse d’un système asservi afin de déterminer ses performances, puis en fonction des critères de stabilité du système, nous calculerons le correcteur et nous vérifierons sa correction (si celle-ci correspond bien à nos attentes). Voici de façon brève, l’explication globale d’un système asservi. Un système asservi correspond à un principe de conception. Ce n'est plus le signal d'entrée qui pilote le système commandé

Nous avons dans un premier temps modélisé “Bernard” par un simple module comme sur le schéma suivant : On précise que l’angle θ doit rester faible sinon “Bernard” aura beaucoup de difficulté à rester stable donc sin(θ)=θ. Ce qui implique que Y=X+Lθ soit VY=VX+aVθ, cette formule nous emmène au schéma bloc suivant : Or on sait que la dynamique du chariot est supérieure à celle du pendule, c’est à dire qu’il faut que le pendule ait un temps de réaction plus important que celui du chariot. Les effets

Rappel sur la décomposition en éléments simples On considère la fraction rationnelle réelle : La forme de sa décomposition en éléments simples se déduit de la valeur et de la multiplicité de ses pôles. Il existe des réels a, b, c, d, e, f et un polynôme réel E tels que : Il s’agit désormais de déterminer la valeur de chaque coefficient indéterminé. Le degré du numérateur de F est strictement inférieur au degré de son dénominateur, donc E = 0. On multiplie de part et d’autre par (p + 1) 3 et on

que le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas : les racines s'obtiennent par résolutions successives d'équations du second degré. Dans le plan complexe, les affixes des sommets du pentagone sont 1 et les racines du cinquième polynôme cyclotomique X4+X3+X2+X+1. [afficher] Valeurs de fonctions trigonométriques faisant intervenir le nombre d'or Arithmétique Un autre chemin que celui de la géométrie permet de mieux comprendre les propriétés du nombre d'or, l'arithmétique. Elle

( λi ) > 0 pour une valeur propre de A, alors x = 0 est instable.Remarque 1.4. Une matrice carrée A est dite Hurwitz si Re ( λi ) < 0 , ∀ i = 1 n où λi sont les valeurs propres de

(θ)(t − θ)n−1 dθ. (1.82) 0 Si on note Hn la fonction t → H(t)t , la primitive d’ordre n de f s’écrit Hn ∗ f . Γ(n) Ces considérations se généralisent également à l’obtention de la dérivée et la primitive d’ordre α avec α complexe. Convolution de polynômes-exponentiels : Toujours dans le cas de fonctions sommables f1 et f2 , le produit de convolution de deux distributions s’identifie au produit usuel de deux fonctions. En particulier, si elles appartiennent à D+ , nous aurons : t h(t) = (f1 ∗ f2

pour tout d∗3 ∈ (0, c∗M ] revient à trouver des gains de n∗ commande stabilisants pour d∗3 = c∗M . Cette dernière tâche peut être obtenue aisément par l’utilisation des outils classiques de commande linéaire. En particulier, le critère de ∗Routh-Hurwitz permet d’assurer la stabilité n exponentielle locale pour d∗3 = c∗M lorsque les inégalités suivantes sont satisfaites (voir la preuve du Theorème 1 pour plus de détails) : / {(5, 3), (6, 3)} k1 , k2 , kij > 0 , ∀(i, j) ∈ (2.21) k2 < k1

Black e 2. Syst`mes du 1er ordre (dont int´gration & retard pur) e e 3. Syst`mes du 2nd ordre e 4. Syst`mes d’ordre quelconque e 3 3.1 Analyse des performances Analyse de la stabilit´ e 1. Polynˆme caract´ristique o e 2. Crit`re de Routh-Hurwitz (alg´brique) e e 3. Crit`re de Nyquist et du revers (g´om´trique) e e e 4. Marge de gain, marge de phase 5. Lieu des racines de l’´quation caract´ristique (m´thode d’Evans) e e e N. Rakoto Ecole des Mines de Nantes 2006-2007 3.2 Pr´cision