Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

Avertissement Ces notes ont été redigées pour servir de support au cours M11 “Analyse réelle I ”, enseigné aux étudiants de la première année de la licence STS, mention mathématiques. Il s’agit d’un résumé du cours. Ainsi, les démonstrations des théorèmes ne sont par reportées ici, mais elles sont développées pour la plupart pendant le cours. Il ne faut donc pas considérer ces notes comme un texte de référence et les étudiants sont fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent

factoriel nous montre d’une part la qualité d’éducation des pays à travers leur position sur le premier axe et nous renseigne également sur leur niveau de gouvernance et de dépenses dans l’éducation. Les données ayant été centrées, le centre du plan représente le centre de gravité du nuage de point, ou encore le pays moyen. 7 8 Voir lien empirique entre les variables (page) Voir lien empirique entre les variables (page) ~ 46 ~ Graphique7 : Représentation des observations dans le premier plan Observations

deux fois. D’où TP 7 Suites On a a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 7, a5 = 43, ... (an) semble diverger et lim an = +3 . n→+3 C’est assez simple à montrer en démontrant par récurrence que an ⩾ n pour tout n ∈ ℕ* puis en utilisant les théorèmes de comparaison. Par la suite, on remarque que an+1 − 1 = an − 1. an Donc an 1 1 1 1 1 1 , puis , c’est-à-dire . = = − = an+1 − 1 an − 1 an+1 − 1 an − 1 an an+1 − 1 an ( an − 1) Donc 1 1 1 . = − an an − 1 an+1

maintenance, de recherche de panne. 1.4.1 Analyse fonctionnelle descendante (SADT) ■ Description : niveau A-0 Ce type d’analyse permet de modéliser graphiquement un produit. L’élément graphique de base est la boîte rectangulaire dans laquelle est inscrite la fonction. On y trouve également les flux de données, matières qui traversent cette fonction et les données de contrôle qui gèrent la fonction. En dessous de la boîte est noté le mécanisme réalisant la fonction (figure 1.9). 5 Chapitre 1 • Analyse

1 Donc J 2 ; . 2 Vérifions que d passe par le point J : 17 17 – 4xJ + =–4×2+ 2 2 17 1 – 4xJ + = 2 2 17 – 4xJ + = yJ 2 Les coordonnées de J vérifient l’équation de d donc d passe par J. On retrouve une propriété donnée par le théorème des milieux : dans un triangle, si une droite est parallèle à un côté et passe par le milieu d’un second côté alors cette droite passe par le milieu du troisième côté. ΂ ΃ a) d a pour coefficient directeur 2. d’ a pour coefficient directeur

x = 2 ou x = − 2. x 2 = 25 ⇔ x = 5 ou x = − 5. x 2 = − 9 : pas d’antécédents. x 2 = 2 ⇔ x = 2 ou x = − 2 . x2 = 0 ⇔ x = 0 . x 2 = − 1 : pas d’antécédent. x 2 = 1 ⇔ x = 1 ou x = − 1. 1 1 1 x 2 = ⇔ x = ou x = − . 2 4 2 (DE) // (BC). D’après le théorème de Thalès : 4 AD AE DE x f (x) ; = ; f (x) = x . = = 5 AB AC BC 5 4 2. f est une fonction linéaire. i = 64 , 974 mi llions d’habitants. ( ) 31. 1. Soit x′ le cours de l’action le 21 janvier 2010. x ′ = 17, 355 × 1 + 2, 82 9, 53 × 1− 100

1. Les solutions sont – 2 et – . 2. On pose X = 1 pour x ¹ 1. x -1 1 1 On a donc X = – 2 ou – d’où x = ou –1. 2 2 1 2 69 Dans le triangle ABC, rectangle en B, l’hypoténuse [AC] est le plus grand côté donc AC > AB et A est extérieur au cercle de centre C et de rayon CB. Ainsi un des points d’intersection appartient bien à [AC] et l’autre pas. p2 p p Donc AD = AC – = q2 + 4 2 2 2 p p p et AE = AC + = q2 + + . 4 2 2 Or l’équation x2 – px – q2 = 0 a pour solution p + p2 + 4 q2 p p2 p p2 + q2 . = +

bx + c = ax2 + bx – a – b = a(x2 – 1) + b(x – 1) = (x – 1)[a(x + 1) + b]. b c Donc l’autre racine est x2 = - 1 - = . a a 69 Dans le triangle ABC, rectangle en B, l’hypoténuse [AC] est le plus grand côté donc AC > AB et A est extérieur au cercle de centre C et de rayon CB. Ainsi un des points d’intersection appartient bien à [AC] et l’autre pas. p2 p p Donc AD = AC – = q2 + 4 2 2 2 p p p et AE = AC + = q2 + + . 4 2 2 Or l’équation x2 – px – q2 = 0 a pour solution p + p2 + 4 q2 p p2 p p2 + q2 . = +

27 p 28 p 29 p 30 p 31 p 33 p 34 p 35 p 36 p 37 p 39 p 41 p 42 p 43 GEOMETRIE ELEMENTAIRE RAPPELS DE GEOMETRIE QUADRILATERES PARTICULIERS TRIANGLES TRIANGLE RECTANGLE THALES TRIGONOMETRIE ANGLES INSCRITS VECTEURS REPERES – CONSTRUCTIONS – VOCABULAIRE - NOTATIONS - PYTHAGORE – ANGLES AU CENTRE – POLYGONES REGULIERS TRANSFORMATIONS - SOLIDES FORMULAIRE : PERIMETRES - AIRES - VOLUMES AGRANDISSEMENTS - REDUCTIONS DEMONTRER EN GEOMETRIE GEOMETRIE DANS L’ ESPACE p 46 CALCULATRICE

connaissances des mythes fondateurs d’Athènes et les représentations de la démocratie athénienne abordés en 3ème; elle consolide les éléments de morphologie, de syntaxe et de lexique mémorisés en 3ème. 3.1 Lecture Au lycée, la lecture des textes reste au centre de l’apprentissage, complétée par l’étude de l’image, de sites, et par la visite des musées. La com- 128 HORS-SÉRIE Le B.O. N°7 31 AOÛT 2000 LANGUES ANCIENNES CLASSE DE PREMIÈRE SÉRIES GÉNÉRALES ET TECHNOLOGIQUES pétence de lecture