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Annales sur la géométrie dans l’espace

Exercice I :
France juin 2003
Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que :
• OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O,
• OA = OB = OC = a.
On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le
−−−→ −−−→ point de l’espace défini par HO = OD .

1) Quelle est la nature du triangle ABC ?
2) Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l’orthocentre du triangle ABC.
3) Calcul de OH
a) Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l’aire S du triangle ABC.
√
3
b) Exprimer OH en fonction de V et de S , en déduire que OH = a .
3
4) Étude du tétraèdre ABCD.
1 −−−→ 1 −−−→ 1 −−−→
OA , OB , OC . a a a 

 a a a
a) Démontrer que le point H a pour coordonnées :  , , .
3 3 3

L’espace est rapporté au repère orthonormal O ;

b) Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c’est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).
c) Soit Ω le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que Ω est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.

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1er mai 2010

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Exercice II :
Polynésie 2003
Partie A
−
→
− →
− →
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k , on considère les points
A, B, C et D de coordonnées respectives :
√
√
√
√
√
A(0; 0; 3), B(2 2 ; 0 ; −1), C(− 2 ; − 6 ; −1), D(− 2 ; 6 ; −1)
1) Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur.
2) On note R, S , T et U les milieux respectifs des arêetes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démontrer que RS T U est un parallélogramme de centre O.
3) Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.

Partie B
On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d’eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge. On