Trinôme du second degré.
I) Définition
On appelle fonction trinôme du second degré toute fonction définie sur IR qui peut s’écrire sous la forme : : ⟼ ²

avec ,

On dit que ² du second degré.

et

réels et

0.

est un polynôme du second degré ou un trinôme

Exemple :
Soit ,

,

et j les fonctions définies sur IR par :

², où, avec les notations de l’encadré précédent, une fonction polynôme du second degré.

3 ² – 5

2,

1 et

est donc

0.

où, avec les notations de l’encadré précédent,

3 ,

5 et

2.

1 3 – ) On prouve en développant cette expression que la fonction

bien polynômiale de degré 2 : notations de l’encadré précédent,

1,

1 3 – 2 et
3.

2

est
3, donc ici , avec les

3 ² , où, avec les notations de l’encadré précédent, est donc une fonction polynôme du second degré.

3 ,

1 et

0.

Contre exemples : On prouve en annexe, à la fin de ce cours , que ces fonctions ne sont pas des fonctions polynômes du second degré définies sur

définie sur IR par

.

1 ² – – 1 ²

n’est pas une fonction polynôme du second degré car en simplifiant on trouve

4 .

définie sur IR \ {0} par définie sur IR par

+

-4

²

1.

ne sont pas non plus des trinômes du second degré.

II) Forme canonique
1) Définition et mise en place.
Soit la fonction définie sur par un polynôme du second degré.

=

Comme a  0 , pour tout réel , on a =

Or ²
Donc

=

=

et enfin =

²

0,

²

² ²

²

, avec a

²

²

Cette écriture s’appelle forme canonique du trinôme .

Exemple 1: Soit

= ² – 3 +

–

Exemple

= ² – 3 +

( – )2 –

donc

+

sous forme canonique.

et enfin

–

2

:

Ecrire

=

²

+ 5

=

1 ²
2

+ 5

=

1
2

=

. Ecrire le trinôme

1 ²

²

le

donc
1

10

trinôme

= et enfin :