FICHE DE METHODES : LES NOMBRES COMPLEXES
Comment écrire un nombre complexe sous forme algébrique ?
Méthode : Pour obtenir la forme algébrique d’un nombre complexe, on développe en utilisant les propriétés de l’addition et de la multiplication et en tenant compte de ce que
. Dans le cas d’un quotient, si le dénominateur est un nombre complexe, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur pour rendre ce dernier réel.
Exemples :

est l’application définie dans ℂ* par

( )

, donner la forme algébrique de ( ) (

).

̅ ,

 Remarques utiles :

Comment résoudre une équation dans ℂ ?
Méthode : Pour résoudre une équation du premier degré d’inconnue z, on isole z et on donne sa forme algébrique. Pour résoudre une équation du premier degré d’inconnue z dans laquelle figurent on remplace dans l’équation donnée.

̅, on pose

et

Pour résoudre une équation du second degré d’inconnue z à coefficients réels, on calcule le discriminant ∆, suivant son signes on a alors des solutions réelles ou complexes conjuguées.
Exemples : Résoudre dans ℂ chacune des équations suivantes :
a)

(

)

)

̅

)

)

Comment déterminer un ensemble de points à partir de la forme algébrique ?
Méthode : Il faut savoir « traduire l’énoncé », les remarques suivantes sont souvent utiles pour le faire :
 z est un nombre réel signifie que ( ) ou que
̅ ou que l’image de z est un point de l’axe réel (on l’interprètera aussi plus loin à l’aide de l’argument)
 z est un nombre imaginaire signifie que ( ) ou que
̅ ou que l’image de z appartient à l’axe imaginaire.(interprétation aussi avec l’argument, voir plus loin)
Il faut aussi savoir reconnaître les ensembles de points à partir de leur équation :

pour une droite
)
(
)
 ( pour le cercle de centre le point Ω d’affixe (
) et de rayon R.
Exemples : A tout nombre complexe z différent de

, on associe le nombre complexe

où et sont deux réels.
1) Exprimer en