Analyse canonique

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Les données

2 tableaux de données :
letableau X1 à n lignes et m1 colonnes
le tableau X2 à n lignes et m2 colonnes

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Le principe de l'analyse canonique
Le principe de l'analyse canonique :

* Mettre en évidence des proximitésentre deux ensembles de données. Ce qui se
traduit par décrire ces proximités entre les deux tableaux de variables que nous avons à notre disposition.

A-Les composantes canoniques
* L'algorithmede l'analyse canonique :

* A la première étape : L'algorithme détermine un couple de
variables canoniques (Z1 1; Z1 2 ) tel que le coefficient de détermination
R² (Z1 1 Z1 2 ) =Cov² (Z1 1; Z1 2 )
Var [Z1 1]Var [Z1 2 ]
ait une valeur maximale sous la contrainte:
Var [Z1 1] = Var [Z1 2 ] = 1:Remarques :

* 1. Z1 1 est donc le premier vecteur propre de P1P2
Z1 2 est donc le premier vecteur propre de P2P1,où:
*
P1 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par lescolonnes de X1
P2 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X2.

* 2. Z1 1 est une combinaison linéaire des variables du tableau X1
Z1 2 est unecombinaison linéaire des variables du tableau X2

Les valeurs des projecteurs P1 et P2 :

Rappel d'algèbre linéaire
* Définition : Le projecteur orthogonal sur l'espace E engendré par lescolonnes de X est l'application linéaire qui fait correspondre à u sa projection orthogonale sur E. Ce projecteur s'écrit:
P = X(X’X)É[?]¹X

Remarques :
3. Ces deuxvecteurs propres Z1 1 et Z1 2 sont associés à la même valeur propre qui est égale au coefficient de détermination
R2 (Z1 1 ; Z1 2 )
4. Z1 1 estˉ¹X’

Remarques...
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