LM256

corrig´ e examen - janvier 2012

Exercice I. Calculer le volume de la boule B de centre 0 et de rayon R dans R3 .
On demande ici les d´etails de calcul.
On utilise des coordonn´ees sph´eriques. x = r sin φ cos θ y = r sin φ cos θ z = r cos φ
Le determinat Jacobien peut ˆetre calcul´e facilement et sera r2 sin φ.
Le volume de la sph`ere devient
� 2π � π �
0

0

R
0

4 r2 sin φdφdθdr = πR3 .
3

Exercice II.
1. Trouver f tel que V = ∇f pour
�
� x y
V=
,
.
x2 + y 2 x2 + y 2
On doit avoir

∂f x = 2
∂x
x + y2

et

∂f y = 2
.
∂y x + y2

De la premi`ere equation on obtient f (x, y) =

1 log(x2 + y 2 ) + c(y)
2

ou c(y) est une fonction de y. De la seconde equation on obtient alors que
∂f
y
+ c� (y).
= 2
2
∂y x +y
On peut alors prendre c(y) = 0.
1

2. Calculer l’int´egrale curviligne
(1, 0) au point (0, 4).
On a

�

Γ

�

Γ

V · dM le long du segment qui va du point

V · dM = f (0, 4) − f (1, 0) =

log 16 − log 1 log 16
=
2
2

Exercice III. On consid`ere l’ensemble d´efini par
�
�
D = (x, y) | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 3x
1. Tracer un dessin de D.
D
arctan 3
(1, 0) (2, 0)

2. Calculer

��

D

1 dxdy. y2

L’int´egrale sur le domaine D est donn´ee, en coordonn´ees polaires x = r cos θ, y = r sin θ, par
� 2 � π/2
1
rdθdr
2
1 arctan 3 (r sin θ)
�π/2
� 2 �
� 2
� 2
1
cos θ
1
1
11
1
=
− dr = dr = dr = log 2 sin θ arctan 3
3
1 r
1 r tan(arctan 3)
1 r3
2. Calculer le volume de l’ensemble
�
�
1
V = (x, y, z) | (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ 2 . y L’int´egrale sur le domaine V est donn´ee, par Fubini, par la formule
� � � 12
��
y
1
1 dzdxdy = dxdy = log 2.
2
3
D 0
D y
2

Exercice IV. Soit D le domaine de R3 limit´e par le cylindre d’´equation x2 + y 2 = 1 le plan z = 0 et la surface z = x2 + y 2 + 1.

1. Soit S le bord de D. Faire un dessin de S et de D.

S2��

S2 = S2� ∪ S2��

S1

D
S2�

2. Calculer le