- Chapitre 2 Les matrices carr´ ees Table des mati` eres 1 Produit et puissance des matrices
1.1 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . .
1.2 Puissances d’une matrice carr´ee .
1.3 La formule du binˆ ome de Newton
2 Les
2.1
2.2
2.3
2.4

carr´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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matrices carr´ ees inversibles
D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Recherche pratique de la matrice inverse .
Propri´et´es des matrices carr´ees inversibles

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5
6

1

Produit et puissance des matrices carr´ ees 1.1

Propri´ et´ es

Nous avons d´efini le produit de deux matrices dans le chapitre pr´ec´edent.
Dans ce paragraphe nous allons nous int´eresser au produit de deux matrices carr´ees d’ordre n.
Il est clair que le produit de deux matrices d’ordre n sera une matrice d’ordre n : on dit que la multiplication matricielle est une loi interne dans l’ensemble Mn (R).
Proposition 1 Nous avons les propri´et´es suivantes :
– ∀M, N, P ∈ Mn (R) on a : M.(N.P ) = (M.N ).P (associativit´ e de la multiplication matricielle) ;
– ∀M, N, P ∈ Mn (R) on a : M.(N + P ) = (M.N ) + (M.P ) (la multiplication est distributive par rapport a
` l’addition) ;
– ∀M ∈ Mn (R) on a : M.In = In .M = M (la matrice unit´e In est ´ el´ ement neutre pour la multiplication matricielle).
Preuve. Ces r´esultats ont ´et´e vus dans le chapitre pr´ec´edent.
Remarque 1 Il faut bien noter que la multiplication matricielle n’est pas commutative : cela signifie que si M et N sont deux ´el´ements de Mn (R) alors on n’a pas toujours : M.N = N.M .
1 2
−1 1
Par exemple, si : M =
et