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Exercices - Matrices : ´nonc´ e e Autour du produit
Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On consid`re les matrices suivantes : A = e
 

1 2 3 −2 5 5 0

, −1 1 3   , E =  −1 −4 0  . 0 2 5
 

B=

1 −2

2 1   , C =  −3 0  , D = 1 2

Quels sont les produits matriciels possibles ? Quelles sont les matrices carr´es et les matrices e sym´triques ? e

Exercice 2 -Des calculs de produits - L1/Math Sup Calculer lorsqu’ils sont d´finis les produits AB et BA dans chacun des cas suivants : e 1. A =


1 0 0 0

,

B=


0 0 0 1 B= 2 0 1 −1 1 2

0 2 1   1 0 , 2. A =  1 −1 −2 −1 1 2   3. A =  1 1  , 0 3
 

B=

−1 1 0 1 2 1 0 0

Exercice 3 - Commutant - L1/Math Sup a b . Trouver toutes les matrices B ∈ M2 (R) 0 a qui commutent avec A,c’est-`-dire telles que AB = BA. a Soient a et b des r´els non nuls, et A = e 1 1 1 1 0 0      On consid`re les matrices A =  0 1 1 , B =  0 1 0  et C =  e 3 1 1 1 0 0 Calculer AB, AC. Que constate-t-on ? La matrice A peut-elle ˆtre inversible ? e les matrices F ∈ M3 (R) telles que AF = 0 (o` 0 d´signe la matrice nulle) u e

Exercice 4 - Annulateur - L1/Math Sup - 







1 1 1 1 2 1 . 0 −1 −1 Trouver toutes



Exercice 5 - Produit non commutatif - L1/Math Sup D´terminer deux ´l´ments A et B de M2 (R) tels que : AB = 0 et BA = 0. e ee

Exercice 6 - Puissance n-i`me - avec la formule du binˆme - L1/Math Sup e o
Soit 1 1 0   A =  0 1 1 , 0 0 1
 

1 0 0   I =  0 1 0  et B = A − I. 0 0 1





Calculer B n pour tout n ∈ N. En d´duire An . eExercice 7 - Puissance n-i`me - avec un polynˆme annulateur - L1/Math Sup e o

http://www.bibmath.net

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Exercices - Matrices : ´nonc´ e e
1. Pour n ≥ 2, d´terminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 − 3X + 2. e 0 1 −1   e e e 2. Soit A = −1 2 −1. D´duire de la question pr´c´dente la valeur de An , pour n ≥ 2. 1 −1 2
 

Rang
Exercice 8 - Explicite... - L1/Math SupCalculer le rang des matrices suivantes : 1 2 3   1. A =  2 3 4  3 4 5 1 2 3 2   3. C =  2 3 4 2  3 4 5 2
    

2. B = 
 

4. D = 

  

1 1 1 2 1 3 1 −2 4 1

1  4  9  . 2 1 2 −3 0 −5    9 6 7  −1 −5 5



Exercice 9 - Avec un param`tre - L1/Math Sup e
D´terminer, suivant la valeur du r´el a, le rang de la matrice suivante : e e


A=

  

1 aa2 a3 a a2 a3 1   . a2 a3 1 a  a3 1 a a 2


Exercice 10 - D´composition de matrices de rang donn´ - L1/Math Sup/L2/Math e e
Sp´/Oral Mines e Soit M ∈ Mn (C). 1. Montrer que si rg(M ) = 1, il existe deux vecteurs X et Y tels que M = XY t . 2. Montrer que si rg(M ) = 2, il existe deux couples de vecteurs ind´pendants (X, Z) et (Y, T ) e tels que M = XY t + ZT t . 3. G´n´raliser aux matricesde rang k. e e

Inversion de matrices
Exercice 11 - Inverser une matrice sans calcul ! - L1/Math Sup −1 1 1   1. Soit A =  1 −1 1 . Montrer que A2 = 2I − A, en d´duire que A est inversible e 1 1 −1 et calculer A−1 . http://www.bibmath.net 2
 

Exercices - Matrices : ´nonc´ e e
1 0 2   e e 2. Soit A = 0 −1 1 . Calculer A3 − A. En d´duire que A est inversible puis d´terminer 1 −20 A−1 .   0 1 −1   e 3. Soit A = −1 2 −1. Calculer A2 − 3A + 2I3 . En d´duire que A est inversible, et 1 −1 2 calculer A−1 .
 

Exercice 12 - Inverse avec calcul ! - L1/Math Sup Dire si les matrices suivantes sont inversibles et, le cas ´ch´ant, calculer leur inverse : e e 1 1 2   A =  1 2 1 , 2 1 1
 

0 1 2   B =  1 1 2 , 0 2 3





1 4 7   C =  2 5 8 , 3 6 9



i −1 2i   I =  2 0 1 . −1 0 1





Exercice 13 - Matrice inverse et polynˆmes - L1/Math Sup o
Soit A la matrice de Mn+1 (C) d´finie par ai,j = e
j−i i−1

si i ≤ j, ai,j = 0 sinon.

1. Interpr´ter A comme la matrice d’un endomorphisme de Rn+1 [X]. e 2. En d´duire que A est inversible, et calculer son inverse. e

Exercice 14 - Matrice ` diagonale dominante -...
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