Lycée Jacques Monod 2nde

09/04/2010 Devoir commun de Mathématiques – Sujet A Durée : 2 heures

Cet énoncé devra être remis avec la copie L’usage d’une calculatrice est autorisé – Tout échange de calculatrice est interdit

Exercice 1 (12 points) Partie A On donne les expressions suivantes : A( x) = −2( x − 3)2 et B( x) = ( x − 1)(9 − x) − ( x − 1)2 . 1. a) Développer A(x). b) Démontrer que A( x) = 2 x(6 − x) − 18 . 2. a) Factoriser B(x). b) Développer B(x). c) Démontrer que B( x) = 2 x(6 − x) − 10 . 3. Résoudre par le calcul, dans l’ensemble des nombres réels R, en choisissant une expression adaptée de A( x) ou B( x) : a) l’équation : A( x) = 0 . b) l’inéquation : B( x) ≤ 0 . c) l’inéquation : A( x) ≤ 0 .

Partie B Dans cette partie, aucune justification n’est demandée. La figure ci-contre est la courbe représentative C d’une fonction f définie sur l’intervalle [–1 ; 7]. 1. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [–1 ; 7]. 2. Résoudre graphiquement dans [–1 ; 7] les équations ou inéquation suivante : a) f(x) = 0. b) f(x) = 18. c) f(x) < 0.

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Partie C : Application au volume d’un pavé droit
H G

E L I J C D K F

P A M

Q B

ABCDEFGH est un cube de côté 6. On considère un point M du segment [AB] et le point I du segment [AE] tel que AM = EI . On construit à l’intérieur du cube le pavé droit AMQPIJKL tel que AMQP soit un rectangle avec AP = 2 . On pose AM = x , avec x appartenant à l’intervalle [0 ; 6]. 1. Démontrer que le volume V(x) du pavé droit est égal à 2x(6 – x). 2. Par la suite, on admet que la courbe représentative de la fonction V est une portion de la courbe C de la partie B, x appartenant à l’intervalle [0 ; 6]. a) Déterminer graphiquement le réel x pour lequel le volume V(x) est maximal. b) Quelles questions de la partie A permettent de prouver la réponse précédente ( 2.a) de la partie C) ? 3. a) Déterminer graphiquement l’ensemble des réels x pour lequel le volume V(x) est inférieur ou égal à 10. b)