Activités GéométriquesEXERCICE 11. Dans le triangle AMP, le plus long côté est [AP]. On a : AM² + MP² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 et AP² = 5² = 25 Donc AM² + MP² = AP². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est rectangle en M. 2. a) Montrons que les droites (FT) et (MP) sont parallèles : (FT) est la tangente en F au cercle A, donc les droites (FT) et (FM) sont perpendiculaires. Le triangle AMP est rectangle en M donc les droites (FM) et (MP) sont perpendiculaires. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles. Donc les droites (FT) et (MP) sont parallèles. 2. b) Calculons la longueur AT : Les droites (FM) et (TP) sont sécantes en A, les droites (FT) et (MP) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a : \dfrac{AF}{AM} = \dfrac{AT}{AP} = \dfrac{FT}{MP} Donc : \dfrac{5}{4} = \dfrac{AT}{5} = \dfrac{FT}{MP} De \dfrac{5}{4} = \dfrac{AT}{5} on déduit que AT = \dfrac{5 \times 5}{4} Donc AT = \dfrac{25}{4} = 6,25 \text{ cm}
EXERCICE 21. 2. a) Le point A appartient au cercle de diamètre [BC], donc ABC est un triangle rectangle en A. 2. b) Dans le triangle ABC rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² Donc : AC² = BC² - AB² AC² = 8² - 4² AC² = 64 - 16 AC² = 48 2. c) Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : Donc L'angle mesure 60°. 03. Le point E est le symétrique du point B par rapport à A, donc BA = AE = 4 cm, ou encore BE = 2 × BA = 8 cm. On a donc : BE = BC = 8 cm, donc le triangle BEC est isocèle en B. De plus, on a montré que l'angle mesure 60°, donc le triangle BEC est équilatéral.