Correction devoir surveillé 3
23 janvier 2013
E XERCICE 1
4 points
Le nénuphar
Dans cette exercice toute trace d’étude ou de recherche même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.
1
Dans un lac, un nénuphar mesure 100 de la taille du lac. Chaque jour, sa taille double.
Dans combien de jours le lac sera trop petit pour héberger le nénuphar ?
On modélise la situation par une suite géométrique (un ) de raison q = 2 et de pre1 mier terme u0 =
.
100
2n
un =
.
100
Pour résoudre notre problème on cherche les solutions de l’inéquation : un 1, qui est successivement équivalente à :
2n
1
100
n
2
100 ln (2n ) ln(100) n ln(2) ln(100) ln(100) ≃ 6.64. n ln(2)
Donc entre le sixième et le septième jours, le lac sera trop petit pour le nénuphar.
Exercice 2

4 points

1. Résoudre dans R les équation est inéquation suivantes :
a. ex+1 = e2x−3
Cette équation est successivement équivalente à : x + 1 = 2x − 3
4=x

b. ex+1 > 12.
Cette inéquation est successivement équivalente à : ln ex+1 > ln(12) x + 1 > ln(12) x > ln(12) − 1.
L’ensemble S des solutions est S =] ln(12) − 1 ; +∞[

2. Sans justification répondre aux questions suivantes :

a. Donner la dérivée de la fonction f définie sur R par : f (x) = ex

2

+1

+ x2.

La dérivée f ′ de la fonction f est définie sur R par : f ′ (x) = 2xex

2

+1

+ 2x.

b. Donner une primitive de la fonction g définie sur R par : g (x) = 2e3x+1 .
Une primitive G de la fonction g est définie sur R par :
2
G(x) = e3x+1 .
3

Baccalauréat STI2D

Lycée Don Bosco

c. Soit la fonction h définie sur R∗ par : h(x) = ex+1 +

1
.
x2

Déterminer les limites suivantes :
i.
ii. iii. lim h(x) = 0 x → −∞

lim h(x) = +∞ x → +∞

lim h(x) = +∞ x→0 Exercice 3

4 points

1. Résoudre l’équation 2X 2 − X − 1 = 0.
On calcul de discriminant ∆ = b 2 − 4ac = (−1)2 − 4 × 2 × (−1) = 9.
Les solutions de cette équation sont alors données par : x1 =

−b − ∆ −(−1)