elTS

EXPONENTIELLE PROBLEMES 1 CORRIGE

12

Pondichéry 2003 On considère la fonction numérique définie sur R par f(x)= x²e x −1 −

x² . 2

Au vu de cette courbe quelles conjectures pouvez-vous faire sur : a. le sens de variation de f sur [−3 ; 2] ; La courbe semble être croissante sur [-3 ; 2] b. la position de la courbe par rapport à l’axe (x’x) ? La courbe semble être sous l’axe des abscisses sur ]-∝ ;0] et au dessus de l’axe des abscisses sur [0 ; +∝[ Partie A : Contrôle de la première conjecture. 1. Calculer f'(x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction définie sur R par g(x)=(x+2)e x-1 – 1. x² f(x)= x²e x −1 − . La fonction f est dérivable sur R et f’(x) = 2xe x −1 + x²e x −1 − x = xg( x) 2 2. Etude du signe de g(x) pour x réel a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers +∞ puis quand x tend vers −∞ . x − > +∞

lim ( x + 2) = +∞ ; x − > +∞

x − > +∞

lim e x = +∞

donc

lim g(x) = +∞
2 1 xe x + xe x − 1 : e e

g(x) = 2xe x −1 + x²e x −1 − 1 =

2 x 1 xe = 0 ; lim xe x = 0 x − > −∞ e x − > −∞ e donc lim g(x) = −1 lim x − > −∞

b. Calculer g' (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x. g(x)=(x+2)e x-1

– 1. La fonction g est dérivable sur R et g'( x) = e x −1 + (x + 2)e x −1 = ( x + 3)e x −1

Le signe de g’(x) dépend du signe de (x+3) On a :

g'( x) ≥ 0 ⇔ x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3

car e x −1 > 0 pour tout x réel.

Donc g’ est positive sur [-3 ; +∝[ et négative sur ]-∝ ; 3]

c. En déduire le sens de variation de la fonction g, puis dresser son tableau de variation. On en déduit que g est décroissante sur [-3 ; +∝[ et croissante sur ]-∝ ; -3]. x Variations de g − e −4 − 1 -∝ -1 -3 +∝ +∝

FRLT

Page 1

11/12/2010

TS

EXPONENTIELLE PROBLEMES 1 CORRIGE

d. Montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans R. On note α cette solution. Montrer que 0,20 < α < 0,21. On utilise le théorème des valeurs intermédiaires. g est continue sur ]-3 ; +∝[ ; g