Examen de Probabilit´s e
Licence 3 MASS - Ann´e 2009-2010 e Mercredi 4 novembre 2009 - Dur´e 1 Heure e

Documents et calculatrices interdits.
Exercice 1 Pour rentrer dans un immeuble, un code comportant 3 chiffres et 1 symbole doit ˆtre compos´ sur e e ce clavier : 1 4 7 * 2 5 8 0 3 6 9

1. Un habitant ne se souvient plus du code. Il effectue alors une combinaison au hasard. D´terminer la e probabilit´ qu’il puisse rentrer dans l’immeuble. e e 2. Le syst`me de s´curit´ permet de proposer 8 fois de suite un code faux : au 8`me ´chec de suite, la machine e e e e se bloque et la police est appel´e automatiquement. L’habitant effectue a pr´sent plusieurs tentatives, e ` e d´terminer dans ce cas la probabilit´ que l’habitant puisse rentrer dans l’immeuble (Vous expliquerez la e e strat´gie suivie par l’habitant). e 3. Nous supposons ici que chaque mois exactement 10 personnes ind´pendantes oublient le code. e (a) D´terminer la loi du nombre de fois que la police est appel´e. e e (b) D´terminer la probabilit´ que la police n’ait jamais ` se d´placer au cours d’un mois, que la police se e e a e d´place 10 fois. e Indication : (1 − ε)α ≈ 1 − αε lorsque ε 0) ≥ 0.25 ⇔ P (Y = 0) < 0.75. D’apr`s le tableau, si λ = 0.3, P (Y = 0) = 0.7408. Donc ` partir de n = λ/p = e a 1000 ∗ 0.3 = 300, la police ne va pas se d´placer ` chaque fois. e a Exercice 2 Soit X une variable al´atoire de loi uniforme sur l’intervalle [0, 1] (X ∼ U(0, 1)). On pose Y = e min(X, 1 − X), Z = max(X, 1 − X), Q = Y /Z et P = Y Z. 1. Rappeler la densit´, fX , et la fonction de r´partition, FX , de X. e e ˜ = 1 − X. 2. D´terminer la loi de la variable X e 3. Soit α ∈]0, 1[, on pose Xα , la variable al´atoire conditionnelle Xα = X|X ≤ α. Caract´riser Xα . e e 4. D´terminer les fonctions de r´partition des variables et les densit´s de Y , Z, Q et P . e e e 5. D´terminer E[Y ], E[Z], E[Q] et E[P ]. e Aide : Si U est une variable al´atoire ` densit´ positive alors e a e
+∞

E[U ] =
0

1 − FU (t)dt

1.