A. P. M. E. P.

Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie
2 mars 2015
E XERCICE 1

5 points

Commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1,5 ; 6] par : f (x) = (25x − 32) e−x
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.
On donne f ′ (x) = (57 − 25x) e −x et f ′′ (x) = (25x − 82) e −x .
1. a. On sait que f ′ (x) = (57 − 25x) e−x et que e−x > 0 pour tout x ; donc f ′ (x) est du signe de 57 −
25x : x 57
25

1, 5

′

f (x)

+

0

6
−

57

− 25
b. f (1, 5) = 5, 5e−1,5 ≈ 1, 23 ; f 57
≈ 2, 56 et f (6) = 118e−6 ≈ 0, 29
25 = 25e
D’où le tableau de variation de f sur l’intervalle [1,5 ; 6] :

x

57
25

1, 5

′

f (x)

+

0

6
−

2, 56 f (x)
1, 23

0, 29

2. Un point d’inflexion est un point où la courbe représentant la fonction traverse sa tangente ; la courbe admet un point d’inflexion au point d’abscisse x0 si et seulement si la dérivée seconde de la fonction s’annule et change de signe en x0 .
On sait que f ′′ (x) = (25x − 82) e−x . Pour tout x, e−x > 0 donc f ′′ (x) est du signe de 25x − 82 qui
82
. s’annule et change de signe pour x =
25
82
Sur l’intervalle [1, 5; 6], la courbe C admet donc un unique point d’inflexion d’abscisse
.
25
3. Dans cette question, on s’intéresse à l’équation f (x) = 1.
a. On complète le tableau de variation de la fonction f : x 1, 5

57
25

6

α

2, 56 f (x)

1
1, 23

0, 29

D’après le tableau de variation de f , on peut dire que l’équation f (x) = 1 admet une solution

unique α sur l’intervalle [1, 5; 6] et que α apprtient à l’intervalle

57
25 ; 6

.

Or f (4) ≈ 1, 25 > 1 et f (5) ≈ 0, 63 < 1, donc 4 < α < 5.
L’équation f (x) = 1 admet donc une solution unique α sur l’intervalle [4; 5].

b. On a écrit l’algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de la solution de l’équation f (x) = 1 sur l’intervalle [4 ; 5] :

A. P. M. E. P.

Baccalauréat ES

Initialisation a prend la valeur 4 b prend la valeur 5
Traitement
Tant que b − a > 0, 1 faire

y prend la valeur f

a+b
2