Dans un lycée, un code d'accès à la photocopieuse est attribué à chaque professeur. Ce code est un nombre à quatre chiffres choisis dans la liste (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), chaque chiffre pouvant être répété à l'intérieur d'un même code.
Par exemple 0027 et 5855 sont des codes possibles.

1. Combien de codes peut-on ainsi former ?

2. Ce code permet aussi de définir un identifiant pour l'accès au réseau informatique. L'identifiant est constitué du code à quatre chiffres suivi d'une clé calculée à l'aide de l'algorithme suivant :
Entrée : N est le code à quatre chiffres.
Initialisation : Affecter à P la valeur de N ;
Affecter à S la valeur 0 ;
Affecter à K la valeur 1.
Traitement : Tant que K \leq 4 : Affecter à U le chiffre des unités de P ; Affecter à K la valeur K + 1 ; Affecter à S la valeur S + K × U ; Affecter à P la valeur \frac{\text{P - U}}{10} ;
Affecter à R le reste dans la division euclidienne de S par 7 ;
Affecter à C la valeur 7 - R.
Sortie " la clé " : Afficher C.

a) Faire fonctionner l'algorithme avec N = 2282 et vérifier que la clé qui lui correspond est 3. On prendra soin de faire apparaître les différentes étapes du déroulement de l'algorithme (on pourra par exemple faire un tableau). b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Un professeur s'identifie sur le réseau informatique en entrant le code 4732 suivi de la clé 7.
L'accès au réseau lui est refusé. Le professeur est sûr des trois derniers chiffres du code et de la clé, l'erreur porte sur le premier chiffre du code (qui n'est donc pas égal à 4).
Quel est ce premier chiffre ?

Correction

1. On peut former toutes les nombres de 0000 à 9999 soit 10 000 possibilités.

2. a) On fait tourner l'algorithme avec N = 2282. Les résultats trouvés à chaque étape sont résumés dans ce tableau :

P S K U R C initialisation 2282 0 1