Chapitre 5

Chapitre 5.
Fonctions exponentielles et puissances
Activités et applications

2. Relation fonctionnelle et conséquences

1. Fonction exponentielle

Activité. À la découverte de quelques propriétés
1. En utilisant cette fenêtre,

Activité. Des équations à la fonction
1. a) L’équation ln(x) = 1 a une solution unique : le nombre e.
b) ln(e2) = 2 ; e2 est solution de l’équation ln(x) = 2. ln(e–3) = – 3 ; e–3 est solution de l’équation ln(x) = – 3.
c) On trace la courbe d’équation y = ln(x) et la droite d’équation y = 0,5.
L’équation ln(x) = 0,5 a une solution x1 ; on obtient x1 ≈ 1,65.
d) On obtient ln(e0,5) = 0,5.
L’équation ln(x) = 0,5 a une solution : le nombre e0,5.
2. a) En utilisant la fenêtre

on obtient l’écran suivant.

Il n’y a à l’écran qu’une seule courbe ; on peut écrire e2 × ex = e2+x.
2. a) ln΂ea+b΃ = a + b.
b) On a ln΂ea × eb΃ = ln΂ea΃ + ln΂eb΃ d’où ln΂ea × eb΃ = a + b.
c) Les nombres ea+b et ea × eb ont même logarithme népérien ; ils sont donc égaux. On a donc : ea × eb = ea+b.

on obtient l’écran suivant.

Application
a) A = e1–x × e1+x = e(1–x)+(1+x) d’où A = e2.
B = (e–x)2

x ex –2x e ; B = e–2x+x–(–x) d’où B = e0 = 1.
=
e e– x e– x

(ex)2 – 3e2x e2x – 3e2x e2x =
; C = – 2 x d’où C = – 2ex. x x e e e b) • La fonction exp est strictement croissante.

C=

• On peut conjecturer que lim exp (x) = 0

b) (ex + e–x)2 = (ex)2 + 2ex e–x + (e–x)2 = e2x + 2 + e–2x

et lim exp (x) = + ∞.

(ex – e–x)2 = (ex)2 – 2ex e–x + (e–x)2 = e2x – 2 + e–2x d’où (ex + e–x)2 – (ex – e–x)2 = 4.

x → –∞

x → +∞

Application 1
On obtient ln(5x) = –

1
1
1 1 d’où 5x = e– –4 puis x = e– –4.
4
5

3. Dérivée et primitives.
Fonctions du type f : x ‫ ۋ‬eu(x)

L’équation 4 ln(5x) + 1 = 0 a dans ]0 ; + ∞[ une solution :
1 1 1 1 le nombre e– –4 ; e– –4 ≈ 0,156 (valeur décimale arrondie
5
5

Activité. Un résultat étonnant !
a)
b)
c)
d)

f’(0) = 1. f’(1) = e ; f’(2) = e2.
On constate que : f’(0) = f(0) ; f’(1) = f(1) ; f’(2) = f(2).
Sur ‫ޒ‬, on a ex > 0 donc f’(x) > 0. La