Polynômes du second degré
1. Equation du 2nd degré
a. La forme générale d'une équation du 2nd degré est : ax² +bx + c = 0 avec a # 0 exemples : 3x² - 5x + 2 = 0 où a = 3 ; b = - 5 et c = 2
- 4x² + 7 = 0 où a = - 4 ; b = 0 et c = 7
b. Le nombre de solutions d'une équation du 2nd degré dépend de la valeur d'un nombre
T appelé discriminant et tel que T = b² - 4 ac.
On distingue 3 cas en fonction de la valeur de T
Si T > 0, l'équation a deux solutions distinctes :
−b− ∆
−b+ ∆ et x 2 = x1 =
2a
2a
Si T = 0, l'équation a une solution double : b x1 = x 2 = −
2a
Si T < 0, alors l'équation n'a pas de solution dans r.
c. Exemples :
2x² - 5x - 3 = 0
T = (- 5)² - 4(2 * (- 3)) = 25 + 24 = 49 = 7²
T > 0 donc il y a deux solutions :
− (−5) + 49 5 + 7
− (−5) − 49
1
x1 =
=
= 3 ; x2 =
=−
2× 2
4
2× 2
2
Vérifications :
2 * (3)² - 5 * 3 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0
2 * (-0,5)² - 5 * (-0,5) - 3 = 0,25 + 2,75 - 3 = 0 x² - 4x + 5 = 0
T = (- 4)² - 4(1 * 5) = 16 - 20 = - 4
T < 0 donc l'équation n'a pas de solution
9x² + 6x + 1 = 0
T = 6² - 4(9 * 1) = 36 - 36 = 0
T = 0, l'équation a une solution double :
6
6
1
x1 = x 2 = −
=− =−
2×9
18
3
2

Vérification :

 1
 1
9 −  + 6 −  + 1 = 1 − 2 + 1 = 0
 3
 3

2. Factorisation d'un polynôme du 2nd degré
a. Soit un polynôme P(x) = ax² + bx + c.
Factoriser ce polynôme revient à l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes du 1er degré. Pour ce faire, il faut rechercher les solutions de l'équation P(x) = 0 en calculant le discriminant T.
Si T > 0, le polynôme peut s'écrire P(x) = a(x - x1)(x - x2) où x1 et x2 sont les solutions de l'équation P(x) = 0

poly_2deg_crs

Polynômes du second degré
Si T = 0, le polynôme peut s'écrire P(x) = a(x - x1)² où x1 est la solution double de l'équation P(x) = 0
Si T < 0, la factorisation du polynôme P(x) est impossible
b. Exemple : Factorisation de P(x) = 5x² + 5x - 10
T = 5² - 4(5 * -10) = 25 + 200 = 225
T > 0 donc il existe 2