R´ esolution d’´ equations I -

2nde

G´ en´ eralit´ es D´ efinition R´esoudre l’´equation A(x) = 0, c’est trouver tous les nombres x tels que A(x) = 0. x s’appelle l’inconnue de l’´equation A(x) = 0.
Ex : A(x) = 2x2 − 5x + 3.
Soit l’´equation (E) : A(x) = 0, d’inconnue x.
Pour x = 2, on a : A(2) = 2 × 22 − 5 × 2 + 3 = 1 = 0, donc x = 2 n’est pas une solution de (E).
2
3
3
3
9 15
6
3
3
Pour x = , A
=2
+ 3 = − + 3 = 0, donc x = est une
−5× +3 = −
2
2
2
2
2
2
2
2 solution de (E). Il peut y en avoir d’autres.
Propri´
et´ e Une ´equation du premier degr´e est une ´equation de la forme ax + b = 0, o` u a et b sont des nombres r´eels, et a = 0. b L’unique solution de cette ´equation est x = − . a 9
Ex : • L’´equation 3x + 9 = 0 a pour solution x = − = −3.
3
1
• L’´equation 2x + 1 = 0 a pour solution x = − .
2
3
5
3
Exercice 1 R´esoudre : • (E1 ) : 3x + 7 = 19
• (E2 ) : x + 3 = 4
• (E3 ) : x + 2 =
2
3
2

II 1)

Diff´ erents types d’´ equations Equation produit

Th´ eor` eme Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul :
A(x)B(x) = 0

si et seulement si A(x) = 0

ou

B(x) = 0

Exercice 2 R´esoudre :
• (E1 ) : (2x − 3)(4x − 5) = 0

• (E3 ) : x2 − 9 = 0

2)

• (E2 ) : (x − 2)(2x + 5)(−2x + 1) = 0

• (E4 ) : (2x + 1)(−x + 3) − x(−x + 3) = 0

Equation quotient

Th´ eor` eme Un quotient est nul si et seulement son d´enominateur est non nul et son num´erateur est nul :
A(x)
= 0 si et seulement si B(x) = 0 et A(x) = 0
B(x)
x−2
Ex : (E) :
= 0 ´equivaut `a x + 1 = 0 et x − 2 = 0, soit x = −1 et x = 2. x+1 L’´equation (E) a donc une seule solution x = 2.

Exercice 3 R´esoudre : x2 − 16
2
1 x−3 =0
• (E2 ) :
=0
• (E3 ) :
−
=0
2x + 1
2x + 5
2x + 5 4x − 3
1
2x + 1
2x
• (E4 ) : 3 +
=0
• (E5 ) :
=
x−5 x x+4
• (E1 ) :

Y. Morel

R´esolution d’´equations
2nde

1/3

3)

Equation X 2 = a

Propri´ et´ e Soit a ≥ 0, alors l’´equation X 2 = a admet deux solutions X =
Si a < 0, l’´equation X 2 = a n’a pas de solution.

√

√ a et X = − a.

√ 2
2
2
2
Si a ≥
0,
X
=