Exo7

Ensembles et applications
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Motivations
Au début du X X e siècle le professeur Frege peaufinait la rédaction du second tome d’un ouvrage qui souhaitait refonder les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d’un tout jeune mathématicien : « J’ai bien lu votre premier livre. Malheureusement vous supposez qu’il existe un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut exister. » S’ensuit une démonstration de deux lignes. Tout le travail de Frege s’écroulait et il ne s’en remettra jamais. Le jeune Russell deviendra l’un des plus grands logiciens et philosophes de sont temps. Il obtient le prix Nobel de littérature en 1950.
Voici le « paradoxe de Russell » pour montrer que l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister. C’est très bref, mais difficile à appréhender. Par l’absurde, supposons qu’un tel ensemble E contenant tous les ensembles existe. Considérons
F = E∈E |E∉E .
Expliquons l’écriture E ∉ E : le E de gauche est considéré comme un élément, en effet l’ensemble
E est l’ensemble de tous les ensembles et E est un élément de cet ensemble ; le E de droite est considéré comme un ensemble, en effet les élément de E sont des ensembles ! On peut donc s’interroger si l’élément E appartient à l’ensemble E. Si non, alors par définition on met E dans l’ensemble F.
La contradiction arrive lorsque l’on se pose la question suivante : a-t-on F ∈ F ou F ∉ F ? L’une des deux affirmation doit être vraie. Et pourtant :
– Si F ∈ F alors par définition de F, F est l’un des ensembles E tel que F ∉ F. Ce qui est contradictoire. – Si F ∉ F alors F vérifie bien la propriété définissant F donc F ∈ F !