EXERCICE 1 (4 points )

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0; +∞[ par f (x) = 1 − x2 e1−x . Son tableau de variations est le suivant : x f (x) 0 Sa courbe représentative C et son asymptote ∆, d’équation y = 1, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie. A - Lecture graphique 1) k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre de solutions dans l’intervalle [0; +∞[ de l’équation f (x) = k. 1 2) n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’équation f (x) = n admet deux solutions distinctes. B - Définition et étude de deux suites 1) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet deux solutions n 0 1 1 +∞ 1
2

un et vn respectivement comprises dans les intervalles [0; 1] et [1; +∞[.

2) Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses les réels un et vn pour n appartenant à l’ensemble {2; 3; 4}. 3) Déterminer le sens de variation des suites (un ) et (vn ).

4) Montrer que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite (vn ). En déduire que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes.

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ANNEXE DE L’EXERCICE 1 A compléter et à rendre avec la copie

C

∆

1

7

O

y

1

2

x