TS

DS N°1

lundi 29 septembre

1 pour n  1 n2 1°) Pour quels rangs a t-on u n ∈]2,99 ; 3,01[ ? u n=3
2°) Démontrer à l'aide de la définition de la limite d'une suite que nlim
→ +∞
Exercice 1 : ( sur 2) Soit u n=3+

Exercice 2 : ( sur 3) Déterminer la limite des suites suivantes :
2
n n −2 n +3 n+1
2 −3 w =
;
u n=3 n3 – 4 n+2 ; v n = n 2 n 3 n +5 n
3 −1
Exercice 3 : (sur 2) Les suites u et v sont définies pour tout entier naturel n  2, par : n n u n= et v n =
√n
√ n+1
1°) Déterminer la limite de u n .
2°) Montrer que pour n  2, u n⩽v n
3°) En déduire la limite de v n .
Exercice 4 : ( sur 3)
1°) On considère une suite u définie sur ℕ et telle que pour tout n ∈ ℕ, u n>0 .
−4
On définit alors la suite v sur ℕ par v n = u n Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier votre réponse.
a) Si la suite u est convergente, alors la suite v est convergente.
b) Si la suite u est minorée par 2, alors la suite v est minorée par –2.
c) Si la suite u est décroissante alors la suite v est décroissante
Exercice 5 : (sur 10)

{

v 0=1
On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par : v = 9 n+1 6−v n
Partie A
1°) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

2°) Pour n = 10, on obtient l'affichage suivant :
Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite v ?
3°) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0<v n <3
(3−v n)2
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, v n+1 – v n=
6−v n
En déduire que la suite v est croissante .
c) En déduire que la suite v est convergente.
Partie B : Recherche de la limite de la suite v

1 v n−3
−1
1°) Démontrer que la suite w est une suite arithmétique de raison
3
w
2°) En déduire l'expression de n en fonction de n.
1
Montrer que v n = w +3 puis en