Bac septembre 2002

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EXERCICE 1 enseignement obligatoire

1. Soit la suite (un) définie par u1 = 1
2 et par la relation de récurrence :
un+1 =16un +
1
3.
a. Soit la suite (vn) définie pour n >1 par vn = un − 2
5 ;montrer que (vn) est
une suite géométrique dont on précisera la raison.
b.En déduire l’expression de vn en fonction de n puis celle de un.
2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rougeset trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces
blanches.
On choisit un dé au hasard et on le lance : si onobtient rouge, on garde le
même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le dé et ainsi
de suite.
On désigne par Anl’évènement « on utilise le dé A au n-ième lancer »,
par An l’évènement contraire de An,
par Rn l’évènement « on obtient rouge au n-ième lancer »,par Rn l’évènement contraire de Rn,
par an et rn les probabilités respectives de An et Rn.
a. Déterminer a1.
b. Déterminer r1. Pour cela,on pourra s’aider d’un arbre.
c. En remarquant que, pour tout n >1, Rn = (Rn ∩Rn)∪
³
Rn ∩Rn
´
,montrer
que rn = −1
6 an + 2
3 .
d.Montrer que, pour tout n >1,
An+1 = (An ∩Rn)∪
³
An ∩Rn
´
.
e. En déduire que, pour tout n >1,
an+1 = 1
6 an + 1
3 , puis déterminerl’expression de an en fonction de n.
f. En déduire l’expression de rn en fonction de n puis la limite de rn quand
n tend vers +∞.
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