Équations et inéquations du second degré
1/ Résolution de l’équation a x ² + b x + c = 0 avec a 0
On pose = b ² - 4 a c. est le discriminant de l'équation. b b
Si > 0, alors l’équation a deux solutions : et 2a
2a
b
Si = 0, alors l’équation a une solution : .
2a
Si < 0, alors l’équation n’a pas de solution.

.

Attention, ceci n’est valable que pour les équations du second degré. x2 - 2 x - 3 = 0 a = 1 ; b = - 2 ; c = - 3 donc

= ( - 2 )2 - 4

x 2 + 6 x - 16 = 0 a = 1 ; b = 6 ; c = - 16 donc

= 62 - 4

1 ( - 3 ) = 4 + 12 = 16 = 4 2
2 4
2 4
> 0 donc l’équation admet deux solutions :
= 1 et
= 3.
2 1
2 1
S={-1;3}
( - 16 ) = 36 + 64 = 100 = 10 2
6 10
6 10
> 0 donc l’équation admet deux solutions :
= - 8 et
= - 2.
2 1
2 1
S={-8;-2}

4 x2 - 4 x + 1 = 0 a = 4 ; b = - 4 ; c = 1 donc

1

= ( - 4 )2 - 4

4

1 = 16 - 16 = 0
4
1
= 0 donc l’équation admet une solution : = .
2 4
2
1
S={
}
2

4 x2 - 4 x + 2 = 0 a = 4 ; b = - 4 ; c = 2 donc = ( - 4 ) 2 - 4 4 2 = 16 - 32 = - 16 < 0
< 0 donc l’équation n’admet pas de solution.
S=

x2 - 3 x - 5 = 0 a = 1 ; b = - 3 ; c = - 5 donc

= ( - 3 )2 - 4

1

( - 5 ) = 9 + 20 = 29
3
29
3
29
> 0 donc l’équation admet deux solutions : et .
2
2
3
29
3
29
S={
;
}
2
2
Exercices : x2 + 4 x - 5 = 0
S={1;-5}
x 2 - 4 x - 32 = 0
S={2;4}
x2- x - 6 = 0
S={-2;3}
x2 - 3 x + 2 = 0
S={1;2}
1
2 x 2 - 11 x + 5 = 0
S={
;5} x2 - 3 x + 5 = 0
S=
2
1
17
1
17 x2 + x + 4 = 0
S={
;
}
x2 + x - 4 = 0
S=
2
2
x2 - 3 x + 2 = 0

S={1;2}

6 x2 - 5 x - 4 = 0

S={-

6 x2 - 5 x + 4 = 0

S=

9 x 2 - 30 x + 25 = 0

S={

x 3 - 3 x 2 - 10 x = 0

S={-2;0;5}

1 4
;
}
2 3

5
}
3

2/ Représentation
À l’équation x 2 + 4 x - 5 = 0 correspond la fonction x:  x 2 + 4 x - 5.
On a vu en seconde que la représentation d’une fonction polynôme de degré 2 est une courbe appelée parabole.
Cette parabole peut être orientée vers le haut (si a > 0) ou vers le bas (si a < 0).

Parabole orientée vers le haut

Parabole orientée vers le bas

3/ Inéquations du second degré
On dit que - 1 et 3 sont les