Microsoft Word - Q1 Dérivabilité d'une fonction.docx 1
1. Dérivabilité d’une fonction Présentez la notion de dérivée f ' x0( ) de f en x0 et interprétez cette notion.
Illustrez vos propos par des exemples.
On aimerait pouvoir connaître la pente de la droite tangente T en un point quelconque d'une courbe car elle nous permet de savoir comment se comporte la courbe en ce point (comportement local).
Soit f une fonction définie au voisinage de x0 . Prenons le point fixe x0; f (x0 …afficher plus de contenu…

ORAL DUBS Question 1 2 • La pente de la droite sécante S passant par les points x0; f (x0 )( ) et x; f (x)( ) est égale à f (x)− f (x0 ) x − x0 Ce quotient représente le taux moyen de variation de f entre x et x0 . Idée : Diminuons maintenant la distance x − x0 .
Au fur et à mesure que x se rapproche de x0 , la droite sécante S « pivote » le long du graphe de f, jusqu’à une position limite, celle de la droite T0 . Dit autrement, la pente de la droite sécante se rapproche de plus en plus de la pente de la droite tangente.

ORAL DUBS Question 1 3
Pour signifier que x se rapproche « le plus près possible » de x0 , il faut utiliser le concept de limite. On obtient …afficher plus de contenu…

En effet : lim x→0 f (x)− f (0) x −0
= lim x→0 x −0 x = lim x→0 x x Comme la fonction change d’expression algébrique en 0, il nous faut calculer la limite à droite et la limite à gauche : lim x→0− x x
= lim x→0− −x x = −1 et lim x→0+ x x = lim x→0+ x x =1 Comme la limite à gauche est différente de la limite à droite, f ' 0( ) n’existe pas et donc f n’est pas dérivable en 0.
Graphiquement, cela correspond à deux tangentes possibles au point (0; f (0)) de pente 1 et -1 !
On dit que le point (0 ; 0) est un point anguleux. -6 -4 -2 2 4 6 x -4
-2
2
4
6 y f
T0+