Chapitre 18

Arithmétique
Objectifs
Dans et [X ] qui sont des anneaux euclidiens : • Définir la notion de congruence. • Recherche des diviseurs communs : algorithme d’Euclide. • Notion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses conséquences. • Notion de Pgcd et de Ppcm. • Notion d’éléments premiers (ou irréductibles), décomposition en facteurs premiers.

Sommaire
I) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II) Éléments premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Théorème de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III) Le plus grand diviseur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV) Le plus petit multiple commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V) Éléments irréductibles, décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .