ann´e scolaire 2013-2014 e y6

B2 2
(n+1)2
2

SAUTIER J.

´
Corrige du Partiel n◦ 1 d’Analyse du 10/10
Partie I
(
)
1 n
1
`
1. On utilise le binˆ me de Newton : 1 + o = 1 + n × + A ou A n n
`
est un r´ el positif. D’ou le r´ sultat. e e
1
n!
2. Initialisation : Pour n = 1 on a n = 1 et n−1 = 1. La relation est n 2 vraie. n!
1
H´ r´ dit´ : On admet qu’au rang n la relation est vraie : n e e e
.
n−1 n 2
D´ montrons la au rang n + 1. e (n + 1)! n! (n + 1)nn
=
nn (n + 1)(n+1)
(n + 1)( n + 1)
(n + 1)!
1
nn
2n−1 (n + 1)n
(n + 1)( n + 1)
(
)n n (n + 1)!
1
2n−1 n + 1
(n + 1)( n + 1)
(
)
1
n
D’apr` s la question pr´ c´ dente : e e e
. La propri´ t´ est vraie ee 2 n+1 au rang n + 1.

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-x
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n n+1
O 1 n+1 2

F IGURE 1 – Courbe repr´ sentative de la fonction f e 3. n ∏ k=1 n
∏
k=1 n ∏ k=1 n
∏

F (k) =

n
∏

(n + 1 − k)k

k=1

F (k) = (1.n) [2.(n − 1)] [3.(n − 2)] . . . [2.(n − 1)] [1.n]
F (k) = (1.2.3. . . . n) (1.2.3. . . . n)
F (k) = (n!)2

k=1

3. limite de cette suite est 0.
Partie II
1.
La courbe est un morceau de parabole de concavit´ n´ gative. e e
2. Comme on le lit sur le graphique, pour k ∈ [1; n], on a : n+1 2 n f (k) (
) .
2

4. D’apr` s II.6. on encadre chaque terme du produit e donne : n ∏ n + 1 2n n n f (k) (
) .
2
k=1
On en d´ duit l’in´ galit´ demand´ e. e e e e

∏n

k=1 f (k)

ce qui

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Sautier Sp´ 2 correction Ds d’Analyse n◦ 1 du 23/10/2009 e ∫

x+1

`
On int` gre de x a x + 1 : e Ce qui donne l’in´ galit´ . e e

Partie III
1

e1−x dx = [−e1−x ]1 = e − 1.
1. I0 =
0
0
∫ 1
∫ 1
1−x
1−x 1 xe dx = [−xe ]0 + e1−x dx = e − 2.
I1 =
∫

0

0

∫

1