Processus stochastiques et modélisation
(Cours et exercices corrigés)
L3 MIAGE, Université de Nice-Sophia Antipolis
2011-2012
Chapitres 1,2,3
Sylvain RubenthalerTable des matières
1 Événements aléatoires et variables aléatoires 1
1.1 Événements et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Espérance et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 …afficher plus de contenu…

Le dessin de fZ est dans la figure 1.4.
Figure 1.4 – Densité de la somme de deux variables uniformes sur [0; 1] indépendantes.14 CHAPITRE 1. ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES ET VARIABLES ALÉATOIRES
Proposition 1.5.3. 1. Si X,Y sont deux v.a.r. indépendantes de variances σ2
X , σ
2
Y respec- tivement, alors la variance de X + Y est σ2
X + σ2
Y .
2. Si X1, . . . , Xn sont des v.a.r. indépendantes telles que ∀i, Xi est de variance σ2 i . Alors
X1 + · · · + Xn est de variance σ2
1 + · · · + σ2
n.
Démonstration. Nous ne démontrons ici que le premier point. Nous avons :
E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E((X + Y − E(X) − E(Y))2) = E((X − E(X))2 + (Y − E(Y))2 + 2(X − E(X))(Y − E(Y)))
(car X ⊥⊥ Y) = σ2
X + σ2
Y + 2E(X − E(X)) × E(Y − E(Y))
= σ2
X + …afficher plus de contenu…

ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES ET VARIABLES ALÉATOIRES
11. Pour tous événements A, B, nous utilisons la notation C = A t B pour dire C = A ∪ B et
A∩B = ∅. Notons FU , FW les fonctions de répartition de U,W respectivement. Calculons
∀u, v
({U ≤ u} ∩ {W ≤ w})c = {U > u} ∪ {W > w} donc :
P(U ≤ u,W ≤ w) = 1 − P({U > u} ∪ {W > w})
(car {U > u} ∪ {W > w} = {U > u} t ({U ≤ u} ∩ {W > w))
= 1 − [P(U > u) + P(U ≤ u,W > w)]
( car {W > w} = ({U ≤ u} ∩ {W > w}) t ({U > u} ∩ {W > w}))
= 1 − [1 − P(U ≤ u) + P(W > w) − P(U > u,W > v)]
= FU(u) − (1 − FW (w)) − (1 − FU(u))(1 − Fw(W))
= FU(u)FW (w) .
12. La variable Z est à valeurs dans {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calculons
P(Z = 1) = P(X = 0,Y = 1)
(car X ⊥⊥ Y) = pX(0)pY (1) =
1
12
,
de même