11/9/2014

D.S.1

INTEGRALES DE WALLIS π/2 π/2

Pour tout entier naturel n , on pose w n = ∫ sin n tdt . On admettra que w n = ∫ cos n tdt .
0

0

1) Montrer que pour t ∈ 0, π/2 fixé , la suite sin n t n∈N est positive et décroissante .
2) En déduire que w n  est positive et décroissante . Est elle convergente ?
3) Par une intégration par parties , montrer que :
∀n ∈ N, n + 2w n+2 = n + 1w n (R)
On pourra poser u = sin n+1 t, v ′ = sint dans w n+2 .
4a) Calculer w 0 , w 1 puis w 2 , w 3 en utilisant (R) .
b) Montrer que n + 1w n+1 w n est une constante . Combien vaut cette constante ? n+1 5) Justifier : ∀n ∈ N, n+2
≤ wwn+1
≤ 1. n On pourra utiliser 2) pour comparer d’abord w n+2 , w n+1 , w n .
6) En déduire : w n+1 ∼ w n
7) Utiliser 4b) et 6) pour trouver un équivalent de w n sous la forme : w n ∼ Kn a , K et a deux constantes à trouver .
8) Quelle est la limite de w n ? Pouvait on le déduire de la question 2) ?

PENTAGONE REGULIER
−1
1) Justifier pour z ∈ C, z ≠ 1: z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = zz−1
4
3
2
2) En déduire les solutions de l’équation : z + z + z + z + 1 = 0
(1)
3) a)Diviser (1) par z 2 . On pose x = z + 1z
b) Montrer alors que : x 2 + x − 1 = 0 (2)
c) Résoudre (2)
4) En comparant les solutions de (1) et de (2) , calculer cos2π/5 et cos4π/5
5) Sur une figure , placer cos2π/5 et cos4π/5 sur l’axe Ox , puis exp2iπ/5 et exp4iπ/5 sur le cercle trigonométrique .
Placer ensuite les autres solutions de (1) .
5