Equation d'une droite
A- Droites et équations
1- Définition
Le plan est muni d'un repère O ; i , j .
Soient a et b deux réels.
L'ensemble des points M(x; y) tels que y = ax + b forme une droite. Celle-ci est la représentation graphique de la fonction affine f qui à x associe ax+b, on dit que c'est la droite d'équation y = ax + b. a est le coefficient directeur et b est l'ordonnée à l'origine.
Réciproquement :
– toute droite du plan qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, admet une équation du type y = ax + b.
– les droites parallèles à l'axe des ordonnées admettent une équation du type x = c.

Exemples :
Tracer les droites :
a) D1 d'équation y = 2x – 3
b) D2 d'équation y = 4
c) D3 d'équation x = 2.

2- Propriétés
1- Si la droite D d'équation y = ax+b passe par les points A(xA; yA) et B(xB; yB), alors le y B− y A coefficient directeur a est égal à
.
x B−x A
2- La droite D d'équation y = ax+b est parallèle au vecteur u 1, a qui est appelé vecteur directeur de la droite.
3- Les droites D et D' d'équations respectives y = ax+b et y = a'x+b' sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, donc a = a'.
4- Dans un repère orthonormal, les droites D et D' d'équations respectives y = ax+b et y = a'x+b' sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1, donc aa' = -1.

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B- Recherche de l'équation d'une droite
Pour obtenir l'équation d'une droite :
1- on détermine son coefficient directeur en utilisant une propriété géométrique (deux points de la droite, parallélisme, orthogonalité)
2- on détermine son ordonnée à l'origine en utilisant un des points de la droite.

1- Exemple 1
Déterminer l'équation de la droite D passant par A(-2; 1) et B(3; -1).
Soit y = ax+b l'équation de D.
−1−1
−2
Le coefficient directeur de D est a =
=
.
32
5
−2
4
×−2b= b .
Comme D passe par A, on a yA = axA + b, donc 1 =
5
5
4 1
On en