Exo7 - Exercices de mathématiquesExercices : Martine Quinio
Exo7
Variables aléatoires discrètes
Exercice 1
Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers publicitaires à envoyer aux clients. Pour cela, elle décide d’affranchir, au hasard, une proportion de 3 lettres sur
5 au tarif urgent, les autres au tarif normal.
1. Quatre lettres sont envoyées dans un cabinet médical de quatre médecins : quelle est la probabilité des événements : …afficher plus de contenu…

Sur 300 personnes, calculer la probabilité qu’il y ait au moins une personne mesurant plus de 1.90m.
Correction H [006013]
2Correction de l’exercice 1 N
1. On utilise une loi binomiale, loi de la variable aléatoire : «nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi 4 lettres» n = 5, p = 3
5 . On obtient P(A) = 1− (2
5)
4 = 0.9744, P(B) =
(4
2
)
(2
5)
2(3
5)
2 = 0.3456.
2. La loi de probabilité de X est une loi binomiale, loi de la variable aléatoire : «nombre de lettres af- franchies au tarif urgent parmi 10 lettres». n = 10, p = 3
5 , son espérance est np = 6, sa variance est np(1− p) = 12
5 .
Correction de l’exercice 2 N
On utilise une loi hypergéométrique
P(A) = 1− (10
3 )
(15
3 )
= 0.73626
P(B) = (5
3)
(15
3 )
= 2.1978×10−2
P(C) =
(5
1)( …afficher plus de contenu…

La probabilité des événements : [X ′ = 1] et [X ′ = 2] sont les mêmes et valent : 0.14. Ainsi, sur 200 personnes, la probabilité de trouver exactement un centenaire vaut 0.14, égale à la probabilité de trouver exactement deux centenaires.
Cette valeur correspond au maximum de probabilité pour une loi de Poisson d’espérance 2 et se généralise. Si
X obeit à une loi de Poisson d’espérance K, alors le maximum de probabilité est obtenu pour les événements
[X = K−1] et [X = K].
Correction de l’exercice 8 N
1. 30% est la probabilité de l’événement Panne, noté Pa ; la probabilité pour une machine donnée de plus de cinq ans, d’être hors d’usage est P(HU)=P(HU/Pa)P(Pa)+P(HU/nonPa)P(nonPa)= 0.3