Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé
Variables discrètes finies - Exercices pratiques
Exercice 1 - Loi d’un dé truqué - L2/ECS 1. X prend ses valeurs dans {1, . . . , 6}. Par hypothèse, il existe un réel a tel que P (X = k) = ka. Maintenant, puisque PX est une loi de probabilité, on a :
6

P (X = k) = 1 ⇐⇒ a k=1 6×7
= 1 =⇒ a = 1/21.
2

On a donc : k P (X = k)

1

2

3

4

5

6

1
21

2
21

3
21

4
21

5
21

6
21

On vérifie aisément en appliquant la formule que E(X) =

13
3 .

2. On a Y = k ⇐⇒ X = 1/k. Y prend donc ses valeurs dans {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6}, et la loi est donnée par : k 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6
1
2
3
4
5
6
P (Y = k) 21
21
21
21
21
21
Le calcul de l’espérance n’est pas plus difficile, et donne :
2
E(Y ) = .
7
Attention à l’erreur suivante : ce n’est pas parce que Y = 1/X que E(Y ) = 1/E(X)!!!.

Exercice 2 - Garagiste - L2/ECS 1. Z est élément de {0, 1, 2}. On a :
P (Z = 2) =

16
4 4
× =
5 5
25

(les deux voitures sont disponibles). D’autre part,
P (Z = 0) =

1 1
1
× =
5 5
25

(les deux voitures sont simultanément indisponibles). Enfin, on obtient :
P (Z = 1) = 1 − P (Z = 0) − P (Z = 1) =

8
.
25

2. Remarquons que Y est à valeurs dans {0, 1, 2}. On calcule sa loi en utilisant la formule des probabilités totales. L’événement Y = 0 se produit si X = 0 ou bien si X ≥ 1 et
Z = 0. Ces deux événements étant disjoints, on a :
P (Y = 0) = P (X = 0) + P (X ≥ 1 ∩ Z = 0) = P (X = 0) + P (X ≥ 1)P (Z = 0) http://www.bibmath.net 1

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé
(la disponibilité des voitures étant supposée indépendante de l’arrivée des clients). D’où :
P (Y = 0) = 0, 1 + 0, 9 ×

1
5

2

= 0, 136.

De même, l’événement Y = 1 se produit si X = 1 et Z ≥ 1 ou bien si X ≥ 2 et Z = 1.
On en déduit :
P (Y = 1) = P (X = 1)P (Z ≥ 1) + P (X = 2)P (Z = 1) = 0, 48.
Enfin, l’événement Y = 2 est réalisé si X ≥ 2 et Z =