IPHO

Correction

IPHO 2014 – 2015

Exercices : changement de référentiel
Exercice 1 : Pendule conique
Un point matériel M , de masse m, lié par un fil inextensible de longueur l à un point fixe A , tourne avec une vitesse angulaire constante ω = θ˙ autour de l’axe Oz.
Son mouvement est circulaire uniforme dans le référentiel R = (Oxyz) galiléen lié au sol. On note α l’angle que forme AM avec la verticale.
On se place dans le référentiel tournant R′ = (Ox′ y ′ z) orthonormé direct et pour lequel Ox′ = (OM ).

z
A
g l α

y

O

1. Représenter R′ et Ω le vecteur rotation de R′ par rapport à R. x 2. Effectuer un bilan des forces appliquées à M dans R′ .

θ

M

3. Calculer l’angle α et la tension du fil T en fonction de m, g, l et ω.
4. L’équilibre est-il possible pour toute valeur de ω ?

1. On représente le référentiel R′ orthonormé direct et pour lequel Ox′ = (OM ) sur la figure. Il est en rotation "pure" dans R : même origine et Ω(R′ /R) = ω.ez . z A

z

Ω

T α l

y
Fie

θ M p Fie α T

y′

l

O

x

A

g

p

α

Fie

x′

M x ′

p

Équilibre dans R′

MCU dans R
2. Dans R′ , les forces appliquées à M sont :
• Les forces usuels : poids p = −mgez et tension du fil T .
• Les pseudo forces d’inerties dues au caractère non galiléen de R′ .
La pseudo force d’inertie de Coriolis Fic = −maic = −2mΩ ∧ v(M/R′ ) = 0 car M est à l’équilibre dans R′ .
−−→
La pseudo force d’inertie d’entraînement Fie = −maie = +mω 2 OM = mω 2 l sin α.e′ x ici.
3. M est à l’équilibre dans R′ et par application du principe fondamental de la dynamique, ma(M/R′ ) = 0 = p + T + Fie . La somme vectorielle des forces est nulle d’où, figure de droite, dans le triangle rectangle tracé en pointillés, tan α =

mω 2 l sin α sin α g Fie
=
=
⇒ cos α = 2 p mg cos α lω Dans le même triangle, on lit également cos α =

p
T

⇒T =

4. Pour qu’il y ait équilibre, α doit être défini. Il faut donc
1

p cos α

g lω 2

= mlω 2

≤1⇒ω≥

g
.
l

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Correction

Changement de référentiel

Exercice 2 : Tige